x^y=y^x (x>y)を満たす整数解は、x=4,y=2以外にありま

x^y=y^x (x>y)を満たす整数解は、x=4,y=2以外にありますか？

また、この解の求め方が分る方がいらっしゃったら教えて下さい。

No.4 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/21 08:58

自然数の範囲で、やってみよう。

xのy乗 = yのx乗 = z が成立しているとする。
z の素因数分解を考えれば、
x と y の素因数は共通であることが解る。
素因数 p の x における指数を a、
y における指数を b と置くと、
p の z における指数から
ay = bx である。
x ＞ y ＞ 0 より、a ＞ b と解る。
これが各 p で成り立つから、
x は y で割り切れる。

x = ky と置く。
x ＞ y より、k ＞ 1 である。
ここで、最初の式に戻ると、
zのy乗根 = kx = yのk乗 が成り立つ。
D(n) = (yのn乗) - ny と置くと、
任意の y に対して D(1) = 0 であるが、
y ＞ 2 のときは、D(n+1) - D(n) = (y-1)(yのn乗) - y
＞ (yのn乗) - y ≧ 0 だから
n ＞ 1 で D(n) ＞ 0 となる。
従って、D(k) = 0 となる解があるのは、
y ≦ 2 に限られる。

y = 2 の場合を解く際も、
上記の考えをたどって、k = 2 に絞られるから、
(x,y) = (4;2) のみが得られる。

y = 1 を代入すると、x = 1 となって、
x ＞ y より、これは解でない。

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/21 14:09

話を整数の範囲に広げる。

x または y の一方が負であれば、
｜z｜ ＜ 1 より、他方も負である。
x = -u,
y = -v で置換すると、
uのv乗 = vのu乗 かつ u,v の偶奇は一致
と変形できて、自然数の場合に帰着される。

ここから、No.1 の解が出る。

No.3 回答者： obonobono 回答日時： 2010/09/20 18:08

ｆ（ｘ）＝(logx)/xのグラフを描いてみれば、

ｘ＝４、ｙ＝２以外はないでしょう。
そこで、あえて、整数解ではありませんが、近似解で
ｘ＝７．４
ｙ＝１．５を見つけてみました。
７．４＾１．５＝２０．１３０２
１．５＾７．４＝２０．０９４４

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2010/09/20 16:45

>x^y=y^x (x>y)を満たす整数解 .....

ひとまず、f(x) = x^(1/x) = e^{(1/x)*LN(x)} のグラフでも描いてみてください。
f(x1) = f(x2) を満たす整数解 x1≠x2 は、{2, 4} のペアだけですね。
　　　

No.1 回答者： ta20000005 回答日時： 2010/09/20 12:19

x=-2,y=-4

f(x)=log(x)/x の利用が一般的だと思う。