「0 < x ≦ y ≦ zである整数x, y, zについて xyz=x+y+zを満たす整数x, y, zをすべて求めよ。」という問題の解答についての質問です。
この問題の解説を見ると、
「xyz = x+y+z≦z+z+z= 3z」と、
xとyがz以下であることから x=z,y=zのケースについて考え、解を絞り込んでいくという方針で解答していきます。
これ以降は画像にある通りなのですが、
これで「与式を満たす整数x,y,zのすべて」が求まったと断言できるのはなぜなのでしょうか?
x=zでかつy=z という極端なケースについてしか考えられていないように思うのですが…。
私は数学が苦手なので、易しい説明をしていただけると幸いです。よろしくお願いいたします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
xyz = x+y+z かつ x = z かつ y = z という極端なケースは、
xyz = x+y+z = z+z+z = 3z だけです。
xyz = x+y+z ≦ z+z+z = 3z は、それより広い範囲を含んでいて、
xyz = x+y+z かつ x ≦ y ≦ z である x, y, z を全て含みます。
だって、(xyz = x+y+z かつ x ≦ y ≦ z) ならば
xyz = x+y+z ≦ z+z+z = 3z が成り立つんですから。
ただし、xyz = x+y+z ≦ z+z+z = 3z だけの条件だと
(xyz = x+y+z かつ 0 < x ≦ y ≦ z となる整数) 以外のものも含んでいる
ので、条件を満たす x,y,z の中からどれが解か検討する必要があります。
No.1
- 回答日時:
>「xyz = x+y+z≦z+z+z= 3z」と、
> xとyがz以下であることから x=z,y=zのケースについて考え、
本当にそんなことが書いてありますか?
「」内から、 xyz≦3z であり、z>0 だから、両辺に1/z>0を掛けると xy≦3 となるので(x≦yなる2つの正の整数x,y,を掛けて3以下になる場合は)(x,y)=(1,1),(1,2),(1,3) しかありえない、としているのではないですか。
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