大学数学 ｢条件:t進表現において、何乗しても右から2桁が変わらない2桁の自然数が存在する。｣ 上記

大学数学
｢条件:t進表現において、何乗しても右から2桁が変わらない2桁の自然数が存在する。｣
上記の条件を満たす、2≦t≦20の自然数tを求めよ。
(例:t＝10 ∵25^n≡25(mod 100))

この問題がいくら考えても分かりません、、
x^2≡x(mod t^2)
∴x(xｰ1)≡0(mod t^2)を満たす整数x(≦t)が存在する
∴x(xｰ1)がt^2で割り切れる ということは分かって、tを合成数or素数で場合分けするのかな という所までは考えましたがそこから全く分かりません、、、
初歩的なことでごめんなさい、どなたか教えて下さると幸いです……

質問者からの補足コメント

• 

  皆様ありがとうございます、、、すごく時間はかかっているもののやっともう少しで解けそうです(><)
  沢山教えてくださっている中申し訳ございませんがもう1つ質問させてください；；
  これはx≦t^2ｰ1 という条件も必要になってきますかね、、？t^2で割り切れるならそれ以上の数になってはいけないのかな と思ったのですが、何だか頭がゴチャゴチャしてしまって、、、申し訳ございません߹”߹

    補足日時：2023/06/29 04:26

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/04 19:35

t=6=3*2

t^2=9*4
9-4*2=1
x=9
x(x-1)=9*8=0(mod36)

t=10=5*2
t^2=25*4
25-4*6=1
x=25
x(x-1)=25*24=0(mod100)

t=12=4*3
t^2=16*9
16-9=7
9-7=2
7-3*2=1
7-3(9-7)=1
4*7-3*9=1
4(16-9)-3*9=1
4*16-7*9=1
x=64
x(x-1)=64*63=0(mod144)

t=14=7*2
t^2=49*4
49-4*12=1
x=49
x(x-1)=49*48=0(mod196)

t=15=5*3
t^2=25*9
25-9*2=7
9-7=2
7-3*2=1
7-3(9-7)=1
4*7-3*9=1
4(25-9*2)-3*9=1
4*25-11*9=1
x=100
x(x-1)=100*99=0(mod225)

t=18=9*2
t^2=81*4
81-4*20=1
x=81
x(x-1)=81*80=0(mod324)

t=20=5*4
t^2=25*16
25-16=9
16-9=7
9-7=2
7-3*2=1
7-3(9-7)=1
4*7-3*9=1
4(16-9)-3*9=1
4*16-7*9=1
4*16-7(25-16)=1
11*16-7*25=1
x=176
x(x-1)=176*175=0(mod400)

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/02 21:50

おまけコメント.

x+y = 1 のとき x(x-1) = y(y-1). ここから, 例えば
x+y = T+1 なら x(x-1) ≡ y(y-1) (mod T)
なので, 「0 でも 1 でもない」という条件だけ気にすれば「2桁」については忘れてもいい.

あと, #4 を変形すると一般の「k桁」の場合にも対応できるね.

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/30 00:16

もちろん「t 進表現で 2桁」なんだから, 正確には

t ≦ x < t^2 (t≦ x ≦ x^-1 でも可)
という条件が課される.

t^2 を法とした演算を考えるならあんまり意識する必要もないけどね. とはいえ「下から 2桁目が 0 でない」ことに気をつけねばならないよ.

No.4 回答者： cage64 回答日時： 2023/06/29 13:09

xとx-1は互いに素なので、

(*) uv=t であり、かつ互いに素であるような自然数u,v
によりxはu^2の倍数, (x-1)はv^2の倍数
となる。u,vの一方が１だと、他方がtになるので、x=0 or 1 になるので不適。
(*)をみたすu,vには、
au^2-bv^2=1
となるような a,b が存在する。
au^2=x, bv^2=x-1 とすればいい.。

1つの解を Au^2-Bv^2=1 とすれば一般解は a=A+sv^2, b=B+su^2。
Aが1桁なら、A+uv^2=A+tv>t, A+uv^2<t+uv^2=t+tv=(1+v)t <t^2 (v<t かつ t-1 はtと互いに素だから、v<=t-2) より、2桁の解がある。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/29 04:41

「t進表現において、2桁の自然数」なんだから、t≦x＜t^2 でなくちゃ。

この回答へのお礼

ああ！たしかにそうだ……！
根本的で肝心なことを忘れていました恥ずかしい߹”߹ありがとうございます！！！

お礼日時：2023/06/29 04:49

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/29 01:00

tは合成数でなくちゃならず、しかも a x = t つまり x mod (a^2) = 1 だね。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/29 00:27

2乗して同じなら何乗しても同じ, つまり 2乗だけ考えればいい. でぶっちゃけ 2≦t≦20 って限定してるんだから「全部調べればいい」だけではあるな. 超絶脳筋だが.

p が素数のとき
x^2 ≡ x (mod p) iff x ≡ 0 or 1 (mod p)
となることに注意して, と.

t が素数 p だと x ≡ 0 or 1 (mod p) なので整数 a を使って x = ap + 0 or x = ap + 1 とおくわけだが, いずれにしても x^2 ≡ x (mod p^2) のとき a ≡ 0 (mod p) になるから「2桁」にならないのでアウト. 流れで t が素数のべきもアウト.

残ったのは t が複数の素因数を持つ場合で, このとき中国人剰余定理をうま～く使えば当該条件を満たすことがいえるはず.

わからんかったら t が 2～6 くらいで試してみるといいかもしれん.