『最後の自然数はどんな数か』

最後の自然数なるものがあれば、それは偶数か奇数か？という昔からの疑問があります。
普通、自然数は無限にあるのでこの疑問は無意味ということになっているかと思いますが、しかし、最後の自然数が設定できるという場合があることを知りました。
それは、数とは現実の物理的世界に実在するものではなく、人が都合で作り出した、いわばでっち上げの概念に過ぎないという前提です。つまり、数は物のように、「ハイ、これです」と示すことなどできず計算によってはじめて数学の世界で存在を表すことができる。だから、自然数といえど、初めから無限に存在していることなどなく、計算することでその都度、作り出されていることになります。例えば、１００までしか計算したことがなければ、最後の自然数は１００です。＋1で１０１があるじゃないか、と反論されるでしょうが、これは＋１という計算を実行することで、初めて作り出される自然数となりますから、予め１０１という自然数が存在していたわけではないという立場をとるわけです。
計算されていない自然数は存在していないのと同じという立場からすると、計算が有限回で終わらざる得ない以上、自然数にも最後があるということになります。
ここで、些か極端な思考実験が提案されるのです。数を発明し、計算できる知性体が、この宇宙には１種類しかいない、つまり、我々地球人類だけだと仮定します。そして、地球人が数で計算できるようになってから、自然数をカウントアップし続けるとします。作業には超高性能のコンピュータを使用しているものとします。長い年月の後、人類も滅びのときを迎えますが、コンピュータはひたすら自然数を増やす計算を行い続けます。が、どんなシステムもやがて動力源が尽きるとか、システムエラーが重なって動かなくなります。その最後の刻、計算していた自然数がいわば最後の自然数となるでしょう。くどいようですが、自然数でも計算されていない数は存在していないのと同じと見做すし、宇宙にはもう計算を行える知性体やシステムは存在していないのですから、これ以上の自然数はないことになるからです。
さて、この最後の自然数はどんな数になるでしょうか？偶数か奇数か、それとも、そんなことはわからない？
自分は、恐らく奇数のそれも素数であるか、少なくとも、素数関連の数になるのではないか、と予想するのです。ただ大きい自然数を計算していくだけでは芸がないから、例えば、より巨大な素数を探す（作り出す）GIMPSとか、Skewes 数を探す（作り出す）といった目的のもとにこのオペレーションを行うと思えるので。果たして、皆さんは最後の自然数はどんな数になると予想するでしょうか？

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/27 23:58

「最後の自然数」をなんらかの方法で定義すれば, その定義のもとで「どのような性質を持つか」は (少なくとも理屈のうえでは) 導くことができるはず.

この「質問文」だと全く定義になっていないので「好きなようにしてくれ」かなぁ.

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/27 23:52

自然数に新たな数を付け加えて、

現状とは異なる新たな「自然数」と呼ぶものを定義することはできます。
よく知られた概念を拡張するとき、同じ名前で再定義することは
混乱のもとなので、けっして勧められませんが。
有理数を拡張して実数を定義するとき、無理数は無理数と呼びました。
「こっちのほうが有理数の本質なんだ」という言い方はしなかったはずです。
実数を拡張して複素数を定義したときも、実数はそのまま実数として残して
複素数のほうを「拡張した実数」とは呼びませんでした。そういうことです。

旧来の自然数に無い新たな数を付け加えた「新しい自然数」は、
旧来の自然数には無かった新しい性質を持ちます。
その新しい性質は、「最後の自然数は無い」が「最後の自然数はある」に変わる
場合もあれば、「自然数は偶数と奇数に分けられる」が「自然数は偶数と奇数に
分けられるとは限らない」に変わる場合もあるでしょう。
あなたの「新しい自然数」の「最後の自然数」が偶数か奇数か決められなかった
としても、驚くにはあたりません。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2023/06/26 20:54

＞これは＋１という計算を実行することで、初めて作り出される自然数となりますから、予め１０１という自然数が存在していたわけではないという立場をとるわけです。

と云う事は 若し最後の自然数があったとして +1 をすれば、
新しい 自然数が生まれる訳ですから、それにまた +1 をする。
つまり、永久に 新しい自然数が生まれ続ける事になりますね。
言い変えれば 「自然数に 終わりはない」と云う事になるのでは。