『数は実在するのか』

皆さん、無限級数はよくご存じで理解もしておられると思います。しかし、自分は今一つ、いえ、二つも三つも理解が及んでいない状況にあるようです。
例えば、ネイピア数eは、(nー1)!(n：自然数)の逆数をn=1~∞で和をとっていった数として定義されますが（実際はもっと厳密な定義が必要でしょうが）、現実において、これで算出できるのは、あくまで有限の項数で計算した場合に限られるでしょう。収束する値としての2.71828…という値はあくまで計算の項数を上限を設けずに増やしていったとき、近付く数ということで、実際に無限項数の計算はできない。いえ、それを言えば、数直線上に定まったネイピア数の点があるわけでなく、ただ、存在範囲を狭めていけるだけで、決して一点に定まっているとは言えなくなる。
だから、ある有名な数学者は、自然数以外の数は人が勝手に作ったものだと評したのかもしれません。
でも、それを言えば、有理数や自然数だってわからない。例えば、１を0.999…と表すやり方がありますが、これも公比が1/10の無限級数に９をかけたものだと言えるでしょう。が、実際に無限回計算することは不可能。あくまで有限回の計算で、その回数をどこまでも多くしていけば、ということだから、計算式の値も、eの場合と同じように、範囲を狭めることだけが可能と結論されるのではないか。
となると、１も、いえ、全ての自然数についても、例えば数直線上のある特定の点にあるとは言えなくなってしまわないか、という疑問が湧くのです。１＝0.999…としてよいのか？とは、よく議論されることでしょうが、無限級数の収束性について、収束というのが結局、極限であり、極限は実際に計算の項数、パラメータnを無限にしてしまうことではない、という観点からして、幾何学的に表現することに固執すると、数直線上の一点にあるとは言えない。その存在範囲を狭めることだけが可能ということにならないかということです。
自然数ですらも、そんな状況では、数は本当に実在するのか？事物に数を対応させるなどということは、本当はできないのではないか？という疑問が拭い去れないのです。しかし、また、現実では何とかうまくやっている。それが不思議なことに思えても来るのです。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/04 21:11

『数は実在するのか』では、問題が定義されているとは言い難い。

『実数は実在するのか』とか『自然数は実在するのか』とかなら、
『実数』や『自然数』の部分には明確な定義があるが、
肝心の『実在する』ということの定義は何だ？
小数で書けることや数直線上の位置が特定できることは、
数にまつわる直感的体験であって、数そのものではない。
そもそも数とは、論理的に定義されて概念の中にあるもので、
石ころや雑草のようにその辺にころがっているという意味で「実在」
するものではないのだ。事物に数を対応させるなどということは、
数にまつわる人間の感情でしかなく、数の実在性とは特に関係がない。

数の実在の本性は無矛盾性であって、「あっても矛盾しないでしょ。
あると仮定して話を進めるけど文句はないよね...」ってことなんだが、
ゲーデル以降、無矛盾性の証明を探すことに意味がなくなってしまった
から困ったものだ。「えー、あってもいいじゃん。俺、あったほうが好き。」
くらいが現代の数学者の立場ではあろう。

No.6 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/06/04 19:39

実在なんかしてません。

人間の頭の中だけにある「概念」です。

人の目の数、鼻の穴の数・・・が,「2と言う概念に纏められる」、これに気が付くまで人類は何万年も掛ったのです。

No.5 回答者： Registan 回答日時： 2023/06/04 17:48

なんとなく無理数は実在しないような気がしますね。

例えば、無理数の物理定数は存在しないように思います。同様に「真円」も多分実在しないのではないか。長さとか重さとかが無理数である物体は実在しないと思います。
有理数は整数で表記できるので実在するような気もしますが、分からないか。ある物質を正確に３等分することは実際には不可能かも。
自然数まで実在しないとなるとそれはさすがに困っちゃうなあ。

No.4 回答者： ミラ-_- 回答日時： 2023/06/04 15:52

無限級数は、数学において重要な概念です。

無限級数は、無限に続く数列の和を表すものです。無限級数は、収束する級数と発散する級数に分けられます。収束する級数とは、無限に項を足していくと、ある値に収束する級数です。発散する級数とは、無限に項を足していくと、ある値に収束しない級数です。

ネイピア数eは、無限級数で定義される数です。ネイピア数eは、自然対数の底であり、指数関数や微分積分などの数学的な分野で広く用いられています。ネイピア数eは、無限級数で定義されていますが、実際には無限に項を足すことはできません。そのため、ネイピア数eは、数直線上の一点に定まらない数です。

1も、無限級数で定義される数です。1は、0.999...と表すことができます。0.999...は、無限等比級数で定義される数です。無限等比級数は、無限に項を足していくと、ある値に収束する級数です。しかし、1は、無限等比級数で定義されている数ですが、実際には無限に項を足すことはできません。そのため、1は、数直線上の一点に定まらない数です。

無限級数は、数学において重要な概念ですが、実際には無限に項を足すことはできません。そのため、無限級数で定義される数は、数直線上の一点に定まらない数です。しかし、無限級数は、現実世界でよく用いられています。これは、無限級数は、ある値に近似することができるからです。

No.3 回答者： yoshimasa2000 回答日時： 2023/06/04 15:51

数は概念であって、実在するものではありません。

2個のリンゴがあるとしても、それは2個のリンゴが実在しているだけであって、「2」という何かが実在しているわけではありません。

そんなの考えなくてもわかると思うんですが。

No.1 回答者： ハイビスカス 回答日時： 2023/06/04 15:19

数学ってそういうもんやん。

ヒトが都合よく当てはめてるだけのもん。ヒトが認知出来ないものはどうすんの？