どう思う？

実数同士の全単射写像について

締切済

質問者：abikon990-08321-3-29
質問日時：2023/07/05 17:12
回答数：2件

1.すべての実数とすべての実数を1対1に対応させることができると仮定する
2.対角線論法により、対応表に存在しない実数が存在するから仮定は誤り

これだと実数同士間に全単射写像が存在しないことになって、実際には実数同士間に全単射写像が存在することと矛盾するから、この論理展開は間違ってますよね。とすると、

3.すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させることができると仮定する
4.対角線論法により、対応表に存在しない実数が存在するから仮定は誤り

からも、「自然数と実数の間に全単射写像が存在しない」という結論を導くことはできないですよね。

質問は以上で以下は補足ですが、補足の内容に誤りがあればご指摘ください。

すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させる方法

まず、すべての自然数と、異なる実数を無限に並べたもの、とを対応させるのだが、それは、異なる実数を無限に並べた「第一列」の「一番目」の実数を「1・1」とすると、

1→1・1
2→1・2
3→1・3
・
・
・

と表すことができる。これはいわゆる「すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させたと仮定したもの」であり、対角線論法によってこの表には存在しない実数を作れることから、仮定は間違い＝「実数は自然数より多い」という結論になるのが従来の話である。しかしこれは、自然数を対応させる対象を「第一列」に限定したことによる間違った結論だ。

対角線上の数字のずらし方は、すべて一つずらす1111…の他に、1211…,1234…,2624…と無限にあるので、一つの対角線から、「第一列」には存在しない実数を無限に生み出すことができる。対角線論法によって生み出された無限の実数を並べた「第二列」に自然数を対応させることができなければ先の結論は正しいことになるが、そんなことは全然なく、「第二列」の「一番目」の実数を「2・1」とすると、

1→1・1
2→2・1
3→1・2
4→2・2
5→1・3
6→2・3
・
・
・

のように、始めの、自然数と「第一列」の対応を解消した後、あらためて自然数を、「第一列」と「第二列」に、交互に対応させればいいだけの話なのだ。で、これは、「第一列」と「第二列」を合わせて「新たな第一列」にした(＝始めの状態にリセットした)ということであり、この「新たな第一列＝N1」の対角線から、対角線論法によって「新たな第二列＝N2」が生まれるので、そしたらまたそれまでの対応を解消して

1→N1・1
2→N2・1
3→N1・2
4→N2・2
5→N1・3
6→N2・3
・
・
・

と、自然数を「新たな第一列」と「新たな第二列」に交互に対応させ、これを無限に繰り返せばいいのである。自然数を、「新たな第二列」の実数に、無限に対応させ続けることができるということは、すなわち両者の個数は同じということなのである。

「すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させることができる」という仮定において対角線論法が言えることは、「実数の方が多い」ではなく、「実数は、対応表に、原理的に一部しか提出できない」であり、実数は一部しか出さないのになぜ自然数の方はすべて出さなければならないのか。

「全単射写像が存在する場合のみ両集合の大きさは等しい」という定義を無視して、もしも実数同士の場合に、

N2・1　　1・1→1・1　　N2・1
N2・2　　2・1→2・1　　N2・2
N2・3　　1・2→1・2　　N2・3
N2・4　　2・2→2・2　　N2・4
・
・
・

のように「両方に対応表に存在しない実数があるからそれぞれの個数は等しい」と言うなら、自然数と実数の場合も、

2　　1→1・1　　N2・1
4　　3→2・1　　N2・2
6　　5→1・2　　N2・3
8　　7→2・2　　N2・4
・
・
・

というように、偶数を対応表に提出しなければ「両方に対応表に存在しないものがあるからそれぞれの個数は等しい」と言えることになる。