整列集合の比較定理

松坂和夫　集合・位相入門　岩波書店発行1968年　の内容に関する質問です。　
p.103に定理４（比較定理）が述べられており、その証明が続いて記述されています。
この証明に関する質問です。
当該の証明の中でP.104の3行目から以下の記述があります；
「そのために、Wの元xとW’の元x'で
(*) 　　　　　　　　 W<x>≃W'<x'>
という関係を満たすような組を考える。・・・」
これに関して私の質問は以下のものです；
W,W’が共に整列集合で互いに順序同型ならば、P.102補題４より、あるx∈Wに対してかならず(*)を満足するx'∈W'が存在することが保証されています。しかしこの定理４の条件としてW,W’は整列集合ではあるが順序同型とは規定されていません。それなのに(*)式を満足するx,x'が必ず存在することが前提とされています。なぜ必ず存在することを前提とできるのですか？

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/09 06:27

定理4(比較定理)

W,W'を2つの整列集合とすれば,次の3つの場合のいずれか1つ,しかも1つだけが起こる.
(1)W≃W'
(2)W'のある元a'が存在して,W≃W'<a'>
(3)Wのある元aが存在して,W<a>≃W'
なお,上の(2),(3)の場合に,a',aはそれぞれ一意的に定まる

証明)
…
以上で,(1),(2),(3)のどの2つの場合も両立し得ないことがわかったから,
次に,これらのいずれかの場合が起こることを示そう.
Wの要素数を|W|,W'の要素数を|W'|とする

(|W|=1)&(|W'|=1)のとき
W={x} となるxがある
W'={x'}　となるx'がある
WからW'への写像
f:W→W' を
f(x)=x'
と定義すると
fは順序全単射だから
W={x}≃{x'}=W'
だから(1)が起こる

(|W|=1)&(|W'|≧2)のとき
W={x} となるxがある
W'は整列集合だから最小元x1'がある
|W'|≧2だからW'-{x1'}の最小元x2',(W'の第2元)がある
W'<x2'>={x1'} だから
f:W→W'<x2'> を
f(x)=x1'
と定義すると
fは順序全単射だから
W={x}≃{x1'}=W'<x2'>
だから(2)が起こる

(|W'|=1)&(|W|≧2)のとき
W'={x'} となるx'がある
Wは整列集合だから最小元x1がある
|W|≧2だからW-{x1}の最小元x2,(Wの第2元)がある
W<x2>={x1} だから
f:W<x2>→W' を
f(x1)=x'
と定義すると
fは順序全単射だから
W<x2>={x1}≃{x'}=W'
だから(3)が起こる

(|W|≧2)&(|W'|≧2)のとき
Wは整列集合だから最小元x1がある
|W|≧2だからW-{x1}の最小元x2,(Wの第2元)がある
W<x2>={x1}
W'は整列集合だから最小元x1'がある
|W'|≧2だからW'-{x1'}の最小元x2',(W'の第2元)がある
W'<x2'>={x1'}

f:W<x2>→W'<x2'> を
f(x1)=x1'
と定義すると
fは順序全単射だから
W<x2>={x1}≃{x1'}=W'<x2'>

だから

Wの元xとW’の元x'で
(*) 　　　　　　　　 W<x>≃W'<x'>
という関係を満たすような組を考える。

x=x2
x'=x2'
とすれば,
W<x2>={x1}≃{x1'}=W'<x2'>
だから

*)式を満足するx,x'が必ず存在する

この回答へのお礼

matrajcpさま
満足の行くご回答を大変ありがとうございました。私もおおよそこのように証明できるのではないかなと思っていましたが、数学歴が乏しいためかこのように具体的に書き下すことができませんでした。助かりました。これで先へすすむことができます。　どの集合論の本を見てもこの前提W<x>≃W'<x'>となるx,x'は存在すると説明なしに書かれています。それほど明白なことを丁寧に解説してくださって感謝します。

お礼日時：2024/03/16 08:37

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/03/07 23:29

だから、その文だけでなく、証明の全文をよく読めって。

ここで質問するのであれば、証明を通しで引用しなければ、
その文の「考える」というのがどういう意味かは
推測のしようがない。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/07 15:56

Wは整列集合だからWの最小元xが存在し、W<x>=φ

W'は整列集合だからW'の最小元x'が存在し、W'<x'>=φ
∴
W<x>=φ=W'<x'>
∴
(*)式を満足するx,x'が必ず存在する

この回答へのお礼

「どのような整列集合W,W'同士でも最小限ｘ,x'の切片は空集合であるから
W<x>≃φ≃W'<x'>となって(*)式を満足するx,x'が必ず存在する」
大変に明解で、覚えやすい証明ですね。こんなに簡単に証明できるほどあたりまえのことだった、と思い知らされました。ありがとうございました。

お礼日時：2024/03/16 08:51