数学の問題がわかりません

私の回答のどこが間違ってるのか教えてください（ ; ; ）
推移図の部分が違うらしいのですが(第二軌道→第一軌道→第二軌道の確率は9/16ではない)具体的にどこが違うのかわかりません

質問者からの補足コメント

• 高校生なので行列なしでご回答いただけると幸いです。お願いします

    補足日時：2023/12/03 00:19

• 

  aとcにいる場合をまとめて考えているのですが何が違うのか分かりません…

  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/12/10 20:39

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/04 09:32

昭和生まれなので、「高校生なので行列なしで」って話には唖然とするのだが...

No.3 No.6 のように立式して、行列なしで解くためには No.7 のような
長大な計算が必要になるが、何を考えて何を計算したらああなったのか
方針の説明が居るだろう。

粒子が毎回の遷移ごとに隣の軌道へ移ることを考えると、軌道の番号の
偶奇には意味があることになる。特に、2回続けて遷移させれば
偶→偶か奇→奇の遷移しか起こらない。奇数番号の軌道には
粒子の位置が No.3 の「状態１」しかないから、n 秒後に「状態１」にいる確率
B(n) は、B(n-2) だけが入った漸化式で表される。
連立漸化式から A(n-1), C(n-1), D(n-1) を消去すると B の漸化式が分離できる
ことがあらかじめ判っているから、それを実行して B の漸化式を解いてしまえば
B(n) を得ることができる。ここでもとの漸化式を見れば
A(n), C(n), D(n) は B(n-1) だけで表されている。

いや、私は No.6 の計算のほうが素直で好きだな。
「天才は嫌いだ。積み上げたものの美しさがない。」

No.8 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/03 11:45

えーと

あなたの考えには、2m秒のとき
例えば(√2、0)と(1、1)にいるケースの比率が2倍違うと言うのが抜けているのかも
そこで、これらを場合わけ
2m-1秒で(1、0)にいた場合
(0、1)にいた場合
(-1、0)にいた場合
(0、-1)にいた場合
のそれぞれから2m秒のときの移動を考える
すると、あなたの設定した点で言えば、aにいる確率はcにいる確率の2倍
すなわち、2m秒では
aにいる確率は
(2/3)P₂m
cは(1/3)P₂m
これを踏まえて、2m+1と2m+2の移動を考えるのかもです

ちなみに、先生から
第二→第一→第二の正しい確率は教えてもはいましたか？
(サッと暗算してみたけど5/16でしようか？違うかな…)

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/03 06:01

第0軌道(0,0)をA状態とする

第1軌道(±1,0),(0,±1)をB状態とする
第2軌道(±√2,0)(0,±√2)をC状態とする
第2軌道(±1,±1)をD状態とする

A状態→B状態となる確率は1

B状態→A状態となる確率は1/4
B状態→C状態となる確率は1/4
B状態→D状態となる確率は1/2

C状態→B状態となる確率は1/4

D状態→B状態となる確率は1/2

A(0)=1
B(0)=0
C(0)=0
D(0)=0

A(n)=(1/4)B(n-1)
B(n)=A(n-1)+(1/4)C(n-1)+(1/2)D(n-1)
C(n)=(1/4)B(n-1)
D(n)=(1/2)B(n-1)

(1)
粒子Pが3秒後に第1軌道に存在する確率は
B(3)=A(2)+(1/4)C(2)+(1/2)D(2)

A(2)=(1/4)B(0)=0
B(1)=A(0)+(1/4)C(0)+(1/2)D(0)=A(0)=1
C(2)=(1/4)B(1)=1/4
D(2)=(1/2)B(1)=1/2
だから
B(3)=0+(1/4)(1/4)+(1/2)(1/2)=1/16+1/4=5/16

粒子Pが3秒後に第2軌道に存在する確率は
C(3)+D(3)=(1/4)B(2)+(1/2)B(2)

A(1)=(1/4)B(0)=0
C(1)=(1/4)B(0)=0
D(1)=(1/2)B(0)=0
B(2)=A(1)+(1/4)C(1)+(1/2)D(1)=0
だから
C(3)+D(3)=0

(2)
粒子Pがn秒後に第2軌道に存在する確率は
C(n)+D(n)

C(n)=(1/4)B(n-1)
D(n)=(1/2)B(n-1)

C(n)+D(n)=(1/4)B(n-1)+(1/2)B(n-1)=(3/4)B(n-1)

A(n-1)=(1/4)B(n-2)
C(n-1)=(1/4)B(n-2)
D(n-1)=(1/2)B(n-2)

B(n)
=A(n-1)+(1/4)C(n-1)+(1/2)D(n-1)
=(1/4)B(n-2)+(1/4)(1/4)B(n-2)+(1/2)(1/2)B(n-2)
=(1/4+1/16+1/4)B(n-2)
=(1/2+1/16)B(n-2)
=(9/16)B(n-2)

B(0)=0
B(1)=1

n=2kのとき
B(n)=B(2k)=0
n=2k+1のとき
B(n)=B(2k+1)=(9/16)^k

n=2k+1のとき
B(n-1)=B(2k)=0
C(n)+D(n)=(3/4)B(n-1)=0

n=2k(k≧1)のとき
B(n-1)=B(2k-1)=(9/16)^(k-1)
C(n)+D(n)
=(3/4)B(n-1)
=(3/4)(9/16)^(k-1)
=(3/4)(3/4)^(2k-2)
=(3/4)^(2k-1)
=(3/4)^(n-1)

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/02 14:49

修正した遷移行列は

P =
　　0　　1/4　0　　0
　　4/4　0　　1/4　2/4
　　0　　2/4　0　　0
　　0　　2/4　0　　0
で、これを使って、
ｎ 回目の移動の後に (状態0にいる確率,状態1にいる確率,状態2にいる確率,状態3にいる確率)
の列ベクトルを x[n] とすると
x[0] = 転置(1,0,0,0),
x[n+1] = P x[n]
より
x[n] = P^(n-1) x[0].　←[＊]

P を対角化すると
P = QD(Q^-1),
D =
　　1/√2　0　　　0　　0
　　0　　　-1/√2　0　　0
　　0　　　0　　　0　　0
　　0　　　0　　　0　　0,
Q =
　　1　　　1　　　1　　　1
　　2√2　-2√2　　0　　　0
　　2　　　2　　　0　　　-4
　　1　　　1　　　-2　　　0
となるので、
これを[＊]へ代入すればいい。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/02 08:53

嫌な問題文だなあ...

これは、要するに、１＋４＋８個の点の間での遷移の話なんだけど、
同心円を具体的な方程式で表したり、円を「軌道」と呼んだり
することで、そのことを見えにくくしている。
問題の正体に気がついてしまえば、内容はあまり難しくないという...
出題意図は、確率なんだろうか？ 初等幾何なんだろうか？

ちな、No.3 の行列は、第3軌道から内側へ戻ってしまっているから
少し修正が必要。行列は４次でいい。

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/01 17:47

追加

多分だけど、
第二軌道に位置するとき
それが座標(1、1)である確率
とか、座標(0、√2)である確率…
などということが意識されていないことが
あなたの誤りの原因なのかもです
ただ、その確率を考えるのは厄介そうですね…
仮に(1、1)にある確率がわかって
それが3/16なら
(1、1)から第一軌道→第二軌道
となる確率は
3/16×2/4×3/4
他の座標を経由する場合も同様に確率を計算して
それらを合算でしょうね

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/12/01 17:43

左図の○と□が取りうる位置すべてです。

赤が第0軌道上の位置、青が第1軌道の位置、黄が第2軌道の位置、緑が第3軌道の位置です。これらは6種類に分類されますね。
　赤□に居るのを状態1、青□に居るのを状態2, 黄□に居るのを状態3、黄○に居るのを状態4、緑□に居るのを状態5、緑○に居るのを状態6とします。左図に基づいて、状態iから状態jへの遷移確率P[i,j]がわかる。その遷移確率行列Pの4倍が右図です。
　ですから、状態1から出発してn回遷移したときに状態jに行き着く確率ベクトルは、(1,0,0,0,0,0)の転置ベクトルをxとして、
　　(P^n)x
で表される。あとは計算するだけ。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/01 17:16

図のように第2軌道の軸上の点A→第1軌道への確率は1/4だけれども

図のように第2軌道の点B→第1軌道への確率は1/2
だから
第2軌道→第1軌道の確率は定まらない

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/01 16:55

画像が粗くて、私の目ではよく読めないから

多少感が混じってます…
的外れならごめん

第2軌道上に存在するとき
その位置の候補となる点の座標は8つですよね
だから、そこからつぎの移動の仕方は
8×4通り
そのうち第一軌道に戻るのは
1×4+2×4＝12通り
故に第二軌道→第一軌道の
確率は12/32
以下、再び第二軌道へ戻るものを考慮
ではないでしょうか…