数A nは自然数とする。n , n+2 , n +4が全て素数であることを示せ。 という問題です。n

数A
nは自然数とする。n , n+2 , n +4が全て素数であることを示せ。
という問題です。nがどんな値でも3の倍数を含むことはわかります。
なぜ、
n≧4のときn≡0（mod3） n≡1（mod3） n≡2（mod3）という場合分けになるのかがわからないです。どなたか、丁寧に教えてくれませんか？

質問者からの補足コメント

• 全て素数ならばn＝3を示せ
  でした。すみません！

    補足日時：2021/05/17 21:07

No.5 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/05/19 21:24

n , n+2 , n +4が全て素数

n=1 のとき、１，３，５　１は素数でないので不適
n=2 のとき、２，４，６　不適
n=3 のとき、３，５，７　適する

nがどんな値でも3の倍数を含むことを確かめるためには、ｎが3の倍数である場合とｎが3の倍数でない場合に分けると確かめられます。ｎが3の倍数である場合はｎを3で割ったときの余りは０なので、n=3k と表されます。ｎが3の倍数でない場合はｎを３で割ったときの余りは１か２です。（余りは割る数より小さいので、３で割ったときの余りは１か２です）よって、n=3k+1 , n=3k+2 と表されます。

n , n+2 , n +4 は、
① n=3k とき、3k , 3k+2 , 3k+4
② n=3k+1 のとき、3k+1 , 3k+1+2=3k+3=3(k+1) , 3k+1+4=3k+5
③ n=3k+2 のとき、3k+2 , 3k+2+2=3k+4 , 3k+2+4=3k+6=3(k+2)
よって、
nがどんな値でも3の倍数を含むことが分かります。
これを合同式を使って書くと、
n≧4のときn≡0（mod3） n≡1（mod3） n≡2（mod3）という場合分けになります。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/05/18 10:41

自然数

n
に対して
n
を
3で割った商を
[n/3]
余りを
k=n-3[n/3]
とすると

n=3[n/3]+k
n-k=3[n/3]=0(mod3)
n=k(mod3)

[n/3]≦n/3<[n/3]+1
3[n/3]≦n<3[n/3]+3
0≦n-3[n/3]<3
↓k=n-3[n/3]だから
0≦k<3
↓kは整数だから
0≦k≦2

kは整数だから
k=0またはk=1またはk=2

↓これをn=k(mod3)に代入すると

n=0(mod3)または
n=1(mod3)または
n=2(mod3)

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2021/05/17 22:11

うん

だからn≡0（mod3） n≡1（mod3） n≡2（mod3）のどれかになる。
かりにn≡1（mod3）ならｎ＋2≡0（mod3）だから
ｎ＋2は３の倍数だけどｎ＋2は素数だからｎ＋2＝3、ｎ＝1
これはｎが素数に反する。
またかりにn≡2（mod3）ならｎ＋4≡0（mod3）で
ｎ＋4が素数だからｎ＋4＝3、ｎ＝-1
これはｎが自然数に反する。
だから結局n≡0（mod3）でなければいけない
つまりｎは３の倍数になるけどｎは素数だからｎ＝3
実際3、3＋2＝5、、3＋4＝7はいずれも素数だから
ｎ＝3が答。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2021/05/17 21:06

だってどんな整数でも3でわったらあまりは0、1、2

のどれかじゃん。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2021/05/17 21:03

問題文は正しいですか。

「nは自然数とする。n , n+2 , n +4が全て素数」。
n=2, n=7, n=11, ・・・ のときは どうする？
「nがどんな値でも3の倍数を含むことはわかります」
これも 矛盾してますね。

4=3x1+1, 5=3x1+2, 6=3x2+0, ・・・と云う事では。

この回答へのお礼

間違っていました。補足見てくださったら嬉しいです。

お礼日時：2021/05/17 21:08