p:素数の時 pｰn ≡ (pｰn)^p (mod p) (1≦n≦pｰ2、nは自然数) は成り立ち

p:素数の時
pｰn ≡ (pｰn)^p (mod p) (1≦n≦pｰ2、nは自然数)
は成り立ちますか？

質問者からの補足コメント

• 

  pとpｰ1は互いに素なので
  フェルマーの定理より
  (pｰ1)^(pｰ1)≡1
  両辺にpｰ1をかければ(pｰ1)^p≡1は明らかでした！

    補足日時：2023/06/29 08:30

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/30 20:50

フェルマーの小定理

pを素数とし,aを整数とすると
a^p=a(mod p)
が成立する
から
a=p-n
とすれば
p-n=(p-n)^p(mod p)
が成立する

フェルマーの小定理
pを素数とし,aをpの倍数でない整数とすると
a^(p-1)=1(mod p)
が成立する
から
a=p-n
とすれば
p-nはpの倍数でないから
(p-n)^(p-1)=1(mod p)
↓両辺にp-nをかけると
(p-n)^p=p-n(mod p)
p-n=(p-n)^p(mod p)
が成立する

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/29 20:47

p が素数のとき

x^p ≡ x (mod p)
というのは有名なやつじゃないか?

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/29 03:46

とりあえずp=3, n=1とかで確かめてみればいいんじゃ？

この回答へのお礼

p＝11まで試してみたら大丈夫そうでした…！とある証明で、これが成り立てば式変形できるんだけど全部は成り立たないのかなあと思って(´；ω；｀)

お礼日時：2023/06/29 07:06