N を2以上の自然数として，N 個のデータ｛ｘn｝を考える。以下の3条件が互いに同値であることを示し

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質問者：pose
質問日時：2023/04/17 18:41
回答数：1件

N を2以上の自然数として，N 個のデータ｛ｘn｝を考える。以下の3条件が互いに同値であることを示しなさい：
1. ｛ｘn｝は定数ではない(X i≠Xjを満たすi、jが存在する）。
2. ｛ｘn｝の分散が正である
3. ｛ｘn｝の平均について，(Xの平均)≠Xiを満たすiが存在する

この問題を教えてください。

補足日時：2023/04/17 18:41
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No.1

回答者：くんこば
回答日時：2023/04/17 18:44

まず、条件1から条件2を導きます。

条件1により、データの中には少なくとも2つの異なる値が存在します。したがって、データの分散は正でなければなりません。分散は、各データポイントと平均値の差の二乗の平均値です。データの中に少なくとも2つの異なる値があるため、各データポイントと平均値の差は0にならないため、その二乗の平均値は正になります。したがって、条件2が成り立ちます。

次に、条件2から条件3を導きます。条件2により、データの分散が正であるため、少なくとも2つのデータポイントは平均値と異なります。平均値と異なるデータポイントが存在しない場合、分散は0になります。したがって、条件3が成り立たなくなります。

最後に、条件3から条件1を導きます。条件3により、少なくとも1つのデータポイントは平均値と異なります。したがって、少なくとも2つの異なるデータポイントが存在し、条件1が成り立ちます。

これで、条件1、2、3が互いに同値であることが示されました。