高校3年の数学好きです。 フェルマーの最終定理は x^n + y^n = z^n (nは3以上の整数

高校3年の数学好きです。
フェルマーの最終定理は
x^n + y^n = z^n (nは3以上の整数)
とすると、「整数解」は自明なもの、
つまり 、xyz=0 をみたすものしかないという定理としてワイルズが最終的に証明しましたが、「有理数解」も自明なものしかないと思います。
もし以下の証明が既に存在する、もしくは間違いがあるならご指摘をよろしくお願いします。

証明

x^n+y^n=z^n (nは3以上の整数)に
非自明な有理数解、(x,y,z)=(a/b,c/d,e/f)
が存在すると仮定する(a,b,c,d,e,fは0以外の整数)。
このとき、
(a/b)^n+(c/d)^n=(e/f)^nであるから
｛(ad)^n+(bc)^n｝/(bd)^n=(e/f)^n
(adf)^n+(bcf)^n=(bde)^n が成り立つ。
ここでadf,bcf,bdeはそれぞれ0でない整数であるから、(x,y,z)=(adf,bcf,bde)は
x^n+y^n=z^nを満たす非自明な整数解となるが、これはフェルマーの最終定理に矛盾。
よって、nが3以上の整数のとき、
x^n+y^n=z^nを満たす非自明な有理数解(x,y,z)は存在しない。 Q.E.D.

拙い文で申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： tumagie 回答日時： 2016/08/28 23:44

＞もし以下の証明が既に存在する

例えば英語版 Wikipedia にあります.

https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Th …

"Equivalent statements of the theorem" の "Equivalent statement 2" を参照.
"it can be multiplied through by an appropriate common denominator to get a solution in Z"とありますがここを具体的に書けば kobafumi さんの証明のように (a/b)^n+(c/d)^n=(e/f)^n の両辺を (bdf)^n 倍するということになるでしょう.

※一般にいって, http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/summer … の「はじめに」のように, 「(斉次式=0) という形の方程式の整数解を考える問題は, 有理数解を考えることに帰着できる」という事実は広く知られていると思います.

この回答へのお礼

やはり既に知られていましたか。自分の知識と調査力不足でした。
ありがとうございます！

お礼日時：2016/08/28 23:54

No.2 回答者： 理系好きの人 回答日時： 2016/08/30 05:49

adf,bcf,bdeはそれぞれ0でない整数ですが負かもしれません。

フェルマーの最終定理はこれらが正のときに成立するので矛盾とはいえません。