x² +4 を(ア)有理数(イ)実数(ウ)複素数 の範囲で因数分解せよ。 という問題です。 画像は解

x² +4 を(ア)有理数(イ)実数(ウ)複素数 の範囲で因数分解せよ。
という問題です。
画像は解答なのですが、赤線をひいた部分は、xをどの式に代入しているのですか？

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/02/16 11:54

＃３補足

方程式の解がαとβである場合、因数はx-α、ｘ－βとなることは知っていますよね
だから、x²-4の因数分解ではその解がα=-2,β=2であるから
因数はx-α=x-(-2)=x+２と
ｘ－β=x-2
の２つで
x²-4＝(x+2)(x-2)となるのです。
（知っているとは思いますが念のため）

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/02/16 11:48

例ｘ²-4の因数分解

x²-4=0を解いてx=-2…①,x=2…②
これらの解を用いて
①よりx-(-2)が因数の１つ
②よりx-2が因数の１つ
ということでx²-4=={x-(-2)}(x-2)=(x+2)(x-2)
と因数分解できますよね。
方程式の解を用いる因数分解では、４次式で、かつ複素数の範囲の因数分解でも、要領はｘ²-4の因数分解と同じです
x⁴+4=0の解は画像の赤マーカーの直上に書かれているように４つで、１つ１つ書けば
x=-1+i,・・・A
x=-1-i,・・・B
x=1+i,・・・C
x=1-i・・・D
これらを用いてx⁴+1の因数は
x-(-1+i)　Aより
x-(-1-i)　Bより
x-(1+i)　Cより
x-(1-i)　Dより
の４つと分かるのでマーカーのような因数分解になります

No.2 回答者： tekcycle 回答日時： 2019/02/16 11:19

ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０

の解がｔ、ｓだった場合、
ａｔ²＋ｂｔ＋ｃ＝０
ａｓ²＋ｂｓ＋ｃ＝０
であるだけでは無く、
ａ(ｘ－ｔ)(ｘ－ｓ)＝０
です。
ｘ²＋２ｘ＋２＝０の解がｔ、ｓだったら、
ｘ²＋２ｘ＋２＝(ｘ－ｔ)(ｘ－ｓ)＝０
ｘ²－２ｘ＋２＝０の解がｕ、ｖだったら、
ｘ²－２ｘ＋２＝(ｘ－ｕ)(ｘ－ｖ)＝０
です。
当然、
(ｘ²＋２ｘ＋２)(ｘ²－２ｘ＋２)
＝{(ｘ－ｔ)(ｘ－ｓ)}{(ｘ－ｕ)(ｘ－ｖ)}
＝０
となります。

逆から考えて、適当に数字をでっち上げて、
(ｘ－５)(３ｘ＋４)＝０
まずこれを展開してみて下さい。
次に、その二次式の解を出してみて下さい。
二次方程式の解と展開との関係はそうなっているし、また、解とグラフとｘ軸の関係も判ってなければなりません。中学数学か高校数学です。大学入試では頻出でしょう。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/02/16 11:12

2次方程式、x²+ax+b=0の解をm,nと置くと

x²+ax+b=(x-m)(x-n)=0となる訳。

逆に、(x-m)(x-n)=0ならば、解はx=m,m=nになる。

x²+2x+2=0の解がx=-1±iなんだから、x²+2x+2={x-(-1+i)}{x-(-1-i)}
x²-2x+2=0の解がx=1±iなんだから、x²-2x+2={x-(1+i)}{x-(1-i)}

x⁴+4=(x²+2x+2)(x²+2x+2)だったから、そこへ上の結果を代入してる。