数3 複素数 z^3+3z^2+3z-7=0 を解けという問題なのですが、 (z+1)^3=8と変形

数3 複素数
z^3+3z^2+3z-7=0
を解けという問題なのですが、
(z+1)^3=8と変形してから、
極形式を利用して解いています。
解き方は理解できるのですが、
どういう場合に極形式を使って解くのかの見分けがつきません。
例えば、因数定理を利用して解くこともできると思います。
この問題を見た場合、どんな理由で数3の問題だと気付き、極形式を用いようと判断するのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/01/17 17:01

「そうするのが便利 (ないし楽) だと思った」らそうすればいい. 実際のところ因数定理を使って因数分解できちゃうのだから, 「なにがなんでも極形式を使わなければならない」というものではない.

「どういうときに『そうするのが便利 (ないし楽) だと思う」のか, は「ノウハウ」といっていいかなぁ. その意味だと「(解ける問題を) 解く」というのは極論「ノウハウが全て」といえるけど.

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/17 16:53

f(z)=z^3+3z^2+3z-7=0

z=1
とすると
f(1)=1+3+3-7=0
だから因数定理から
f(z)は(z-1)で割り切れるから割ると

....z^2+4z+7
z-1)z^3+3z^2+3z-7
....z^3- z^2
........4z^2+3z
........4z^2-4z
.............7z-7
.............7z-7
................0

f(z)=(z-1)(z^2+4z+7)=0
だから
z=1.または.z^2+4z+7=0
z^2+4z+7=0のとき
(z+2)^2+3=0
(z+2)^2=-3
z+2=±i√3
z=-2±i√3
∴
z=1.または.z=-2±i√3

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2023/01/17 16:39

「数3の問題」と判断する必要性はありません。

たまたまその問題が数3の履修範囲に入っていると言うだけの話であって、そもそも数学の分野に「数3」などと言うものはないわけですから、問題を解くに当たって「数3の問題と見分ける」と言った意味はありません。

それから「この問題は極形式で解ける」と言うのは「たまたまその問題がそれで解ける」と言うだけの事であって「この問題はこのやり方で解ける」などと言ったノウハウ的なものは基本的に存在しません。そもそも論ですが「この問題はこのやり方で解ける」と言う事が分からなければ解けないと言うのであれば、プロの数学者が問題を解く事なんか未来永劫できるわけありません。数学者は問題を解くプロですから。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

問題を解くに当たって「数3の問題と見分ける」と言った意味はありません。
→意味がないとは思いません。実際に学生は授業の数3で習った分野なので、数3の知識で解こうと考えることがあるからです。

ノウハウ的なものは基本的に存在しません。
→二次関数の頂点を求めよと言われたら、平方完成をする。これは十分にノウハウと言えますがいかがでしょうか？

そもそも論ですが「この問題はこのやり方で解ける」と言う事が分からなければ解けないと言うのであれば、プロの数学者が問題を解く事なんか未来永劫できるわけありません。
→私はプロではないですし、受験数学の範疇で考えがえていただければと思います。

お礼日時：2023/01/17 16:47