因数分解について

これまでに何度も母から教わっているのですが
テスト等で全体的に見て、問題の比率が少なく
すぐ忘れてしまい、その度に聞いての繰り返しになっているところがあります。

そのためか全然定着せず、問題を見て
「あっあの教えてもらった解き方だ」と思っても、「あれ、ここどっちだったけ？」とかになってしまいます。

それで、母にまた教えてもらおうと思ったのですが
そういう問題に出会ったわけでも無いのと
全体的に記憶が曖昧になっているため、例題をどう出していいかも分からないため
こちらで質問させていただきます。


その解き方というのは
（例題を作る能力が無いため、例題が間違っている可能性があるので、その場合はきちんと答えが出るような例題を提示して、解説していただけると助かります）


ｘ２＋５ｘ－１７
（エックス２乗、プラス５エックス、マイナス１７）

を因数分解する場合に

（ｘ＋２ｘ）（ｘ＋３ｘ）とか
（ｘ＋７ｘ）（ｘ－２ｘ）とかすると

ｘ２＋５ｘの部分は当たっていますが、後半が－１７ではなく、
＋５や、－１４になってしまいます。

その際に、（ｘ＋２ｘ）（ｘ＋３ｘ）の後に、
＋５と－１７だと２２の差があるから、－２２とか＋２２とか書くような解き方をする因数分解があったかと思いますが
（正攻法、単純に因数分解の公式を使っても解けないような問題の場合の解き方です）


ｘ２＋５ｘ－１７の
前方部分（ｘ２＋５ｘ）の部分だけを因数分解して
－１７部分は、別に帳尻合わせ？をする解き方の
帳尻合わせの部分が自分の中ですごく曖昧です。

その部分を教えて頂きたいです。
（解説しているサイトでも構いません）

No.11 ベストアンサー 回答者： adachirusan 回答日時： 2013/06/28 00:56

こんばんは。

帳尻合わせと聞くと私も因数分解ではなくて平方完成の方がしっくりくる気がします。

x^2 - 2x - 18 だったら、
x^2 - 2x の部分が (x - 1)^2 から1を引いたものなので、

x^2 - 2x - 18 = (x - 1)^2 - 1 - 18

最終的に (x - 1)^2 - 19 になります。
でも、これだと積のかたちではないので因数分解にはならないです。
（二次関数の頂点を求めたりする時に使います）
違っていたらごめんなさいm(_ _)m

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

1を引いたものなのでというところが
ちょっと理解できないのですが

どうやら因数分解では無くて、平方完成のようですね。
因数分解が含まれていたので、因数分解だと思っていたようです。


たくさんご回答いただいたのですが
やはり問題集を解いていて、その問題にぶち当たったわけではないので
質問する時点でおかしかったようです。
失礼しました。

お礼日時：2013/06/28 01:10

No.10 回答者： berokanda 回答日時： 2013/06/27 22:30

割り込み失礼します。

ひょっとしてこういうことですか？

↓

(x^2)+5x-17
=(x^2)+2×(5/2)x+((5/2)^2)-((5/2)^2)-17

　（公式(A+B)^2=(A^2)+2AB+(B^2)を使って）

={(x+(5/2))^2}-((5/2)^2)-17
={(x+(5/2))^2}-93/4
={(x+(5/2))^2}-((√93)/2)^2
={(x+(5/2))-(√93)/2}{(x+(5/2))+(√93)/2}

　（公式（A^2)-(B^2)=(A-B)(A+B)を使って）

={x+(5/2)-(√93)/2}{x+(5/2)+(√93)/2}

（ただし、X^2というのはXの二乗を表します。X2だとXの2倍と
区別つかないので）

これは#8で言及されている解の公式を使うのと同じことです。
たすき掛けですぐ思いつかないときや、この例題のように整数
の零点を持たないとき、「えいやっ」と機械的に解の公式を使う
ことはままあることです。

No.9 回答者： asuncion 回答日時： 2013/06/27 21:18

仮に、『因数分解における帳尻合わせの公式』なるものが

存在するとします。
さて、それでは、
x^2 + 5x + 6
これを、その公式を使って因数分解してみてください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

たぶん公式として明確に存在はしていないような気がしますが
こういうふうに解くんだよと母に教えられました。

後、この問題は帳尻合わせをしなくても２と３で解けてしまうので
その解き方を使う事は無いかと。

お礼日時：2013/06/28 01:07

No.8 回答者： asuncion 回答日時： 2013/06/27 20:09

＞x2-2xだけが当たっている因数分解をして-18の部分は帳尻合わせをする解き方があるかと思いますが

そのような方法はありません。
x^2 - 2x - 18 を（むりやり）因数分解するならば、
x^2 - 2x - 18 = 0 とおいて得る2次方程式の解
x = 1 ± √(1 + 18) = 1 ± √19
を使って、(x - 1 - √19)(x - 1 + √19)
とするしかありません。

因数分解における帳尻合わせっていうのが、全然わかりません。

No.7 回答者： asuncion 回答日時： 2013/06/27 08:50

念のためにお聞きします。

因数分解と平方完成とが
ごっちゃになっている、
ということはありませんね？

この回答へのお礼

単元名に関してはよく分かりません。
ただ、因数分解をする問題であったことは確かです。

No.6で指摘されて気づいたのですが
=0を書き忘れておりました。

お礼日時：2013/06/27 17:43

No.6 回答者： asuncion 回答日時： 2013/06/27 06:50

＞x2-2xだけが当たっている因数分解をして-18の部分は帳尻合わせをする解き方

そもそも、そういう解き方はありません。この点に気づいていただきたいです。

1個目の例題
x^2 + 5x - 17

2個目の例題
x^2 - 2x - 18

ともに、(x - a)(x - b)と因数分解できると仮定したとき、
a, bは整数ではありません。
したがいまして、学校のテストなどにおいて、
これら2つの式を因数分解する、という問題はまず出題されません。

これら2つの式をどうしても因数分解したければ、当該の式 = 0とおいて得る
2次方程式の解（整数以外の解）を求めるしかありません。

No.5 回答者： asuncion 回答日時： 2013/06/26 23:15

＞後、回答の主旨が分かりません。

＞できましたら質問に沿った回答をお願いします。

どうしてこのような補足が付くのか、全くもって理解に苦しみます。

質問者さんが最初に提示された
x^2 + 5x - 17
においては、
かけて -17
足して +5
になる2つの数を見つけることは苦労を伴うので、それよりはもっと簡単であると思われる

x^2 - 2x - 15
という例題でもって
かけて -15
足して -2
になる2つの数（簡単な整数）を見つけてください。そうすれば因数分解できます。という回答をしました。

思考停止状態に陥っていないでしょうか。

この回答へのお礼

再度回答ありがとうございます。

例題は適当に書いたものなので、
その点、ちゃんとした例題を記載してくださった事は助かりました。

そして、その例題は
かけて－１５、足して－２ですから
（ｘ＋３）（ｘ－５）となることは分かりますが

私の質問は、そういう内容ではありません。
因数分解の公式は九つあったかと思いますが
後半のほうの公式は最近、因数分解を全く勉強していないため抜けてしまいましたが
（項が全部で５～６、または３乗のもの）
前半の公式は頭に入っています。

asuncionさんは、この質問を見て
因数分解の解き方を聞いているものと思われたのかもしれませんが、
解き方は聞いている物の、こういう単純な因数分解の問題の解き方を聞いてはいません…。

因数分解する際に、必ずしも
x^2-2x-15のように綺麗？に因数分解できる問題ばかりではありませんよね。

x^2-2x-18だとしたら
３と６、２と９の組み合わせが考えられますが、（１８を作るのに）
どちらも-2は作れません。

その場合に
x2-2xだけが当たっている因数分解をして-18の部分は帳尻合わせをする解き方があるかと思いますが
その帳尻合わせの部分が自分の中ですごく曖昧になってしまっているため、教えて頂けないでしょうか？という質問です。


記憶が曖昧なため、色々記憶違いの点あるかもしれませんが
x^2-2x-18の場合
(x+4)(x-6)等
展開した際に前半部分がx^2-2xになるような因数分解をして
後半は-24となってしまいますが、本来は-18でなくてはいけないため、その点
(x+4)(x-6)に続く形で帳尻合わせをする解き方だったかと思います。

後、ここはかなりうろ覚えだったのですが
もしかしたらメインの解き方ではないかもしれません。
母からはこういう教わり方をしましたが、本来はこういう解き方もできるよというレベルかもしれません。
（母は解の公式を使って解く問題を、使わずに解いたりするもので。解の公式使わなくても解けるよと何回も言われてきました（気をつけないと計算ミスしやすい解き方にはなりますが））

お礼日時：2013/06/27 03:14

No.4 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/06/26 22:54

横から失礼します。

No.3への補足
＞できましたら質問に沿った回答をお願いします。
　私がasuncionさんなら、カチンと来るでしょうね。
　まさに的を射たピッタシのアドバイスですよ。相手が何を言おうとしているかが理解できない。数式が示していることを理解できない・・・ことが問題なのですよ。ここまで読んで、先に進めなくなるようでしたら、それが数学が解けない本質です。

　質問文を読む限りでは、根の方程式を学ぶ前の二次方程式の因数分解のテクニックを身につけたいということだと思われます。
No.3でasuncionさんが示された例題「x² - 2x - 15」を因数分解するということは、どういう意味かわかってませんよね。
　y=x² - 2x - 15
と言うグラフを考えたとき、このグラフがx軸と交わる点では、yの値が0になると言うことですね。
　この式が(x+a)(x+b)と因数分解できると、(x+a)× 0 あるいは、0×(x+b)の時 y=0にはy=0になりますよね。
　ここで、(x+a)(x+b)を開くと、x² + (a+b)x + ab になりますね。このaとbを見つけるのが因数分解ですから、
(a+b) = -15　足して-15
a*b = -2　　　掛け合わせて -2
になる数字を見つけることに他なりません。

　まあ、因数分解はいずれ根の方程式を学べば不要な知識ですが、因数分解の考え方は平方完成と共に、微分を学ぶ前段階では重要な数学的手法です。

　とき方と言う技術ではなく、なぜそうなるかを身につけないと、いくら練習問題をしてもまったく意味ないですよ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

柔らかく言ったつもりだったのですが
顔文字を入れるわけにもいかず…

asuncionさんの回答は意味は分かるものの
質問で聞いていることではない回答だったのでああいう補足になってしまいました。

＞とき方と言う技術ではなく、なぜそうなるかを身につけないと、いくら練習問題をしてもまったく意味ないですよ。

こういう事を言われる方には初めて出会った気がします。
さすがに1+1=2に疑問は持ちませんが、そういうような感じの事に疑問を抱くことが時々あります。
ですが、そこに疑問を持つと、極論1+1=2に疑問を持つような事になるため
これはこういうものと色々な先生等から教わってきました。

お礼日時：2013/06/27 03:17

No.3 回答者： asuncion 回答日時： 2013/06/26 21:54

またまた失礼。

x^2 - 2x - 15
という例題を考えてみましょうか。
かけて -15
足して -2
になる2つの数を考えてみてください。

この回答へのお礼

３度も回答いただきありがとうございます。

順繰りに見ていったので、１番目の回答のお礼は気にしないでください。

後、回答の主旨が分かりません。
できましたら質問に沿った回答をお願いします。

お礼日時：2013/06/26 22:12

No.2 回答者： asuncion 回答日時： 2013/06/26 21:32

おっと失礼。

＞実数の範囲では因数分解できません。

できますが、よくある練習問題に載っているようなきれいな値にはならない、ということです。

また、

＞（ｘ＋２ｘ）（ｘ＋３ｘ）とか

これは、3x・4x = 12x^2

＞（ｘ＋７ｘ）（ｘ－２ｘ）とかすると

これは8x・(-x) = -8x^2
となり、元の問題とは似ても似つかなくなっています。


x^2 - 3x - 15
という例題を考えてみましょうか。
かけて -15
足して -3
になる2つの数を考えてみてください。