高校数学の整数問題です。

不定方程式 7x + 6y = n が 6 個の自然数解を持つような最小の自然数 n を求めなさい。

　 7*1 + 6(-1) = 1
なので、
　　7n + 6(-n) = n　…… (1)
　　7x + 6y = n　　 …… (2)
　(2)-(1)
　　7(x-n) + 6(y+n) = 0
　　7x + 6y = n
　整数解は、kを任意の整数とすると
　　x = -6k + n
　　y = 7k - n
　この解が自然数解になる条件は、
　　-6k + n > 0 かつ 7k - n > 0
　　∴6k < n < 7k
　　
ここからどうすればいいのかわかりません。それともこの方法じゃまずいですか？

質問者からの補足コメント

• No2 さんの回答に質問です。
  
  > (n+1)/7≦k≦(n-1)/6となる最小のkに対して
  > (n+1)/7≦k<k+5≦(n-1)/6
  　上の式に挿入した k+5 はどんな理由ですか？

    補足日時：2024/03/08 22:17

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/08 23:00

x = -6k + n

y = 7k - n
この解が自然数解になる条件は、
-6k + n ≧ 1 かつ 7k - n ≧1
n-1≧6k かつ　7k≧n+1
(n-1)/6≧k かつ　k≧(n+1)/7
(n+1)/7≦k≦(n-1)/6

(n+1)/7≦k≦(n-1)/6となる最小のkに対して

(n+1)/7≦k<k+1<k+2<k+3<k+4<k+5≦(n-1)/6
ならば

(n-6k,7k-n)
(n-6(k+1),7(k+1)-n)
(n-6(k+2),7(k+2)-n)
(n-6(k+3),7(k+3)-n)
(n-6(k+4),7(k+4)-n)
(n-6(k+5),7(k+5)-n)
の
6個の自然数解を持つから

(n+1)/7≦k<k+5≦(n-1)/6
↓各辺に42をかけると
6n+6≦42k<42k+210≦7n-7

6n+6≦42k
と
42k+210≦7n-7
を
加えると

6n+6+42k+210≦7n-7+42k
↓両辺に7-6n-42kを加えると

223≦n

∴最小のnは

n=223

この回答へのお礼

わかりました、わかりました！
　懇切丁寧な解答、まことにありがとうございました。深く感謝いたします。

お礼日時：2024/03/08 23:58

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/08 21:44

x = -6k + n

y = 7k - n
この解が自然数解になる条件は、
-6k + n ≧ 1 かつ 7k - n ≧1
n-1≧6k かつ　7k≧n+1
(n-1)/6≧k かつ　k≧(n+1)/7
(n+1)/7≦k≦(n-1)/6

(n+1)/7≦k≦(n-1)/6となる最小のkに対して
(n+1)/7≦k<k+5≦(n-1)/6
↓各辺に42をかけると
6n+6≦42k<42k+210≦7n-7

6n+6≦42k
と
42k+21≦7n-7
を
加えると

6n+6+42k+210≦7n-7+42k
↓両辺に7-6n-42kを加えると

223≦n

∴最小のnは

n=223

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。

お礼日時：2024/03/08 22:09

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/03/08 21:00

6個の自然数解と言うのは(x,y)の事だから、nは7と6の公倍数です。

つまり、nは42の倍数。
候補はn=42,84,126・・・・。
順番に7x+6y=42を解いて、次に 7x+6y=42を解いて・・・・。

こうやって順にやれば答に辿り着きます。