不定方程式 7x+6y=n が
6 個の自然数解を持つような最小の自然数 n を求めよ.
補足
この問題は以下の投稿の類題ですが
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13419230.html
座標設定し、x軸上での大小関係に持ち込みたいのですが、、、、
前回と違い、係数が大きいので、さて、どうしたものか
何卒宜しくお願い致します
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
補足
注1.
xは正整数なので1以上又格子点が6つ存在
するならば1≦x<P1にも格子点のx座標が
6つ存在する故に格子点の数をLとして
P1=1+(L-1)6
と表せる
で
格子点というのはx座標とy座標が両方整数なのだから
x座標が正整数だからといって
y座標が正整数とは限らないから
x=1,1+6,1+2*6,1+3*6,1+4*6,1+5*6
のとき
y座標が正整数となる理由を書いてください
その理由を書かなければ証明とはいえません
なお
x+y=n …②
は間違いで正しくは
x+y=k …②
ですので修正してください
No.4
- 回答日時:
その補足で
図の赤線分(1≦x≦p1)の
長さ(x座標)は
P1=x=1+6(6-1)=31
となるのは
なぜかの理由が書かれていません
理由を書いてください
その理由を書かなければ証明とはいえません
No.2
- 回答日時:
7x+6y=n
7(n-6k)+6(7k-n)=n
x=n-6k>0
y=7k-n>0
x=n-6k>0
n-6k>0
n>6k
n/6>k
k<n/6…(1)
y=7k-n>0
7k-n>0
7k>n
k>n/7
n/7<k
↓これと(1)から
n/7<k<n/6
kの最小値をk1とすると
n/7<k1≦k≦k1+5<n/6…(2)
n/7<k1
n<7k1
n≦7k1-1…(3)
(2)から
k1+5<n/6
6(k1+5)<n
6k1+30<n
6k1+31≦n…(4)
↓これと(3)から
6k1+31≦n≦7k1-1
6k1+31≦7k1-1
32≦k1
192≦6k1
223≦6k1+31
↓これと(4)から
223≦6k1+31≦n
223≦n
n=223のとき
n/7=223/7<32≦k≦37<223/6=n/6
だから
n/7<32≦k≦37<n/6
となるkは37-32+1=6個
∴適する
以上から適するのは
n=223
No.1
- 回答日時:
前回と全く同様に...
7x + 6y = n ←[1]
7・1 + 6・(-1) = 1 ←[2]
辺々 [1] - [2]・n を行うと、 7(x - n) + 6(y + n) = 0.
すなわち、 7(x - n) = -6(y + n).
左辺は 7 の倍数、右辺は 6 の倍数だから、
7 と 6 の最小公倍数 42 を使って
7(x - n) = -6(y + n) = 42k (kは整数) と解ける。
変形して、x = n + 6k, y = - n - 7k.
x, y が自然数である条件は、 n + 6k ≧ 1 かつ - n - 7k ≧ 1.
すなわち、 (n + 1)/7 ≦ -k ≦ (n - 1)/6.
これを満たす k が 6 個であるために、区間の幅について
5 ≦ (n - 1)/6 - (n + 1)/7 < 7 であることが必要。
すなわち、223 ≦ n < 307.
この範囲の n で [1] の解がちょうど 6 個になるものを探すのだが、
そのような n の中で最小のものを見つければよいので
小さい n から順に試してゆく。
n (n + 1)/7 (n - 1)/6 -kの範囲 kの個数
223 32 37 32から37まで 6
あれ? 1 個目の候補で解を見つけてしまった。
答えは n = 223.
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おはようございます
前問では、大変お世話になりました
今回は、勇気を出して今までの考え方を捨てて
新しいアプローチで考えてみました
識者の貴殿に
ご評価、ご指導くだされば幸いでございます。
from minamino
こんにちは
いつもお世話になっております。
>区間の幅について
5 ≦ (n - 1)/6 - (n + 1)/7 < 7 であることが必要。
この考え方が馴染めず
私の答案です
ご評価、ご指導ください
私は、別のアプローチで考えてみました
ご丁寧にありがとうございます
でも、私には無理です
とても使いこなせません
私の数学は直感だけの数学ですから
ごめんなさい。
おはようございます
ご指摘のとおり杜撰でした
答案に添えました
ご評価、ご指導ください