物理の単振動の問題で分からない所を教えてください

図のように、一場を床上に固定しもう一方の端に質量mの板Aを結びつけたばねを鉛直方向のみに振動できるようにして垂直に立てた。板Aの上に質量mの小球Bを静かに置くと、ばねは、自然長からd縮んでつりあった。さらにA・Bを2d押し下げ静かに手を放した後のA・Bの運動について次の問いに答えよ。ただし、自然長からd縮んでつりあった位置を原点として、鉛直下向きにxをとり、重力加速度をgとする。

A・Bが一体となって運動しているとき、座標xにおけるA・Bの加速度をa、AとBの間に働く抗力の大きさをN、ばね定数をkとして、AとBの運動方程式をかけ。という問題で、最初、Aの運動方程式をma=mg＋N-kxと出したのですが、ma=k(x－d)＋mg＋Nの方が正しいですか？正解を教えてください(><)
よろしくお願いします！

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/05/10 23:20

ばね定数を k (m/N) とすれば、ＡとＢの合計質量は 2m なので

　-2mg = -kd
→　k = 2mg/d　　　　①

ああ、これは使わないのか。

小球Ｂは、板Ａから「抗力 N」で上向きに押されて加速度 a で運動するので、運動方程式は
　mg - N = ma　　　②

板Ａは、小球Ｂから「抗力 N」で下向きに、ばねから -kx （x>0 のとき上向き、x<0 のとき下向き）で押されて加速度 a で運動するので、運動方程式は
　mg + N ₋ kx = ma　　　　③

中立位置は x=0 なので、③でよいです。

mg = (1/2)kd なので、これを③に代入すれば
　(1/2)kd + N ₋ kx = ma
→　k[(1/2)d - x] + N = ma
となって、板Ａだけで考えれば「中立位置 (1/2)d」からの変位で決まる復元力を考えることになります。
つまり、③式の「mg」という項自体が、「それを乗せてばねが縮んで静止した位置」を示していることになるのです。