台と小物体合わせた全体の水平方向の運動方程式 とは？

次のページの質問者と似た疑問を私も持っていて、質問の答えを理解したいです。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …
しかしこちらの説明では納得しきれなかったため、

台と小物体合わせた全体の水平方向の運動方程式
ma(c)cosθ=(2m+M)a(a)
に至るまでの根拠・考え方を示していただきたいです

参考にこの方の説明でわからないところを挙げます。おそらく何かの根本的考え方がわからず下のように混乱しているので、下の疑問に全て目を通していただく必要はないと思います。長くなってしまいましたが、よろしくお願いします！：

５行目 "全物体の水平加速度は台の加速度になりますので"→
・互いに静止していない物体の全体の加速度を考えられるのでしょうか。全体の加速度 という概念にピンときません。重心加速度と関係はあったりするのでしょうか。
・物体Aの運動について立式すべきなのはわかるのですが、質量として M でなく m＋2M が用いられることも不思議です。

7行目 "糸の張力は、この物体の水平移動に一切寄与しません。物体Bが物体Aを水平に押すことで台が動いているので、その関係式を立式すればよいです"→
・物体Aのみについて運動方程式を立てた場合、
Ma(a)=Tcosθ - N(b)sinθ - N(c)
（AとB,C間の垂直抗力をそれぞれ N(b),N(C)とする。
N(c)は物体Cと壁Dの間にかかる）
となりますが、全体の運動を考えると物体Aの滑車に働く張力や垂直抗力が無視されることがわかりません。他のすべての物体の運動方程式を組み合わせればあの２式に行きつくので、式から結果的にＴ,Ｎは無視できるとわかるのですが問題文から物理的考察によりあの２式に行きつけるようになりたいです。

質問者からの補足コメント

• BはCと同じで m です！

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/09/02 10:10

• 問題の全文を挙げます。問ABCは互いに独立していますので、ここでは問Cのみ考えていただけたら十分です！

  
    補足日時：2022/09/02 12:01

• 床と板と人の図です！①の運動量保存の場合です。

  
  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/09/02 21:51

• みなさんの回答で疑問だったことが全て解決したような気がします！お二方とは私が質問をしたのを最後にでやりとりが終わってますので、回答でなくとも返信をいただけた次第、会話を締めたいと思います。私の理解です↓
  
  ・全体の加速度として a(a) を加えるのは、B,Cの運動をAから観測していたから。
  ・Aから見た相対運動を考えたのちA,B,Cに a(a) を加えて慣性系での運動を考える。それぞれに Ma(a) ma(a) m(a) が加わると考えられるから、A,B,C全体には (M+2m)a(a) がかかると考えられる。
  ・図の③はそれぞれの物体にかかる合力を表すから、内力は全て互いに打ち消されている。
  ・図の④こそが「台と小物体合わせた全体の水平方向の運動方程式」であるが、F=0を使って添付URLでのように 「ma(c)cosθ=(2m+M)a(a)」と書かれたものは運動方程式とは解釈されない。

  
    補足日時：2022/09/03 00:12

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/09/02 16:47

水平面とともに静止している観測者からみた A の速度を Va

A とともに動く観測者から見た B, C の速度を Vb, Vcとすると

Vb = Vc

水平方向に働く力は内力だけであり、
運動量保存則から水平方向の運動量はゼロになるはずなので

MVa + m(Va + Vbcosθ) + mVa = 0 ①

全体を微分して
Mαa + m(αa + αbcosθ) + mαa = 0
(M+2m)αa = - mαbcosθ

αb/αa = αc/αa = - (M+2m)/(mcosθ) ②

AB間の垂直抗力やBC間の張力は内力なので
① はそれの大きさに関係なく成り立ちます。
つまり　αb/αa　は内力がどうであるかに
関係なく ②の式になるということです。
②式は加速度の比を表しているだけで
具体的な運動がどうなるかは表していません。

この回答へのお礼

②の式は、添付URL先での回答では「台と小物体合わせた全体の水平方向の運動方程式」と捉えられていましたが、実際は運動量保存則が立式の根拠である、ということだったんですね！
さらに、運動量保存則が元だがその変形によって運動方程式のようにも捉えらえれうるに過ぎない、と納得しました。
このような理解でおおかた問題ないでしょうか？

お礼日時：2022/09/02 19:58

No.8 回答者： syotao 回答日時： 2022/09/05 12:06

この問題で成り立つのは

Ｍ(Ａの加速度ベクトル)＋ｍ(Ｂの加速度ベクトル)＋ｍ(Ｃの加速度ベクトル)
＝Ａ、Ｂ、Ｃ三者に働くそれぞれの重力の和＋Ａに床から働く]垂直抗力
これが基本であってこれを水平方向成分であらわして
表題の解が出てくる。
あまり重心などという言葉を使うとこの基本式が見ずらくなるので
感心しない。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/09/03 19:04

(2)運動方程式を立てると

張力をTとすれは

Bに関して
mαb=T-mgsinθ-mαacosθ ③
#第3項は慣性力の斜面方向成分

Cに関して
mαc=mg-T ④

αb=αcなので
T-mgsinθ-mαacosθ=mg-T
T=m(gsinθ+αacosθ+g)/2 ⑤

⑤で④のTを消去し
αaとαcの関係を使えば
αcは求まります。

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2022/09/03 01:19

No.2 です。

もうすでに解決しているようですが、ちょっと一言。

＞問ABCは互いに独立していますので、ここでは問Cのみ考えていただけたら十分です！

と書かれていることが、ちょっとミスリードしていると思います。

「物体B と C」の系と、「台Ａ」とがあって
(A) は「台Ａ」が静止していて、「物体B と C」だけが運動する。
(B) は「台Ａ」が運動するが、たまたま特殊な条件で「物体B と C」は静止している。
(C) は、一般的な条件で、「台Ａ」も「物体B と C」も運動する。
という順番でより一般的な問題を解いて行く形になっていると思います。

(B) では、台の動きを、「物体B と C」の系では「慣性力」として扱えばよいことに気づかせ、(C) ではその「慣性力」を使って全体の問題を解くものです。

(A) では、物体 B, C とその「重心」の加速度が等しいことを利用して、重心の運動方程式
　2mα(c) = mg(1 - sinθ)
を求めています。

(B) では、物体 B, C の重心を基準とした座標系では、物体 B に対する慣性力
　mα(a)
を導入します。

(C) では、重心の運動方程式に「慣性力」の斜面方向成分を追加した
　2mα(c) = mg(1 - sinθ) + mα(a)cosθ
（これが「糸方向の重心運動方程式」と書かれているもの）

および、物体 B, C が台Ａに加える力の「水平成分」
・床の座標系から見た物体Ｂの水平加速度
　　α(c)cosθ - α(a)
　よって、物体Ｂが台Ａを水平に押す力
　　Fb = m[α(c)cosθ - α(a)]
・物体Ｃが台Ａを水平に押す力
　　Fc = -mα(a)
・これらが台に作用するので、台Ａの運動方程式は、
　Mα(a) = Fb + Fc
　　　　= m[α(c)cosθ - α(a)] - mα(a)
　　　　= mα(c)cosθ - 2mα(a)]
→　(M + 2m)α(a) = mα(c)cosθ
（これが「台と小物体合わせた全体の水平方向の運動方程式」）

という関係が求まると思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
問題がわからないから質問している立場で、付属の問題が関係ない、と断じれるはずがありませんでした。(A)(B)(C)の出題意図・誘導の流れ、まで考えられていませんでしたが、回答を見て理解でき、ここに考え至れるまで精進します。

お礼日時：2022/09/03 06:27

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2022/09/02 21:20

補足にあった疑問ですが、バスの中の子供が走る場合についてバスと子供を別々の物体として考えるなら、子供がバスの床を蹴る力と同じ力がバスの床から子供にかかるわけですから「バスの加速度に影響はない」と言う結論になるはずですし、そもそもそれでバスの加速度に影響するとしたら、乗客がバスの吊り革か何かを引っ張ればバスは加速される事になってしまいます。

それから「床と板と人」の事例についてですが、人がどこにいるのか分かりませんでした。最初はサーフィンのように「床の上に板があってその上に人が乗っている」と言うものかと思いましたが、それだと床と人の間に摩擦が招じるはずはないので。

この回答へのお礼

すみません、摩擦はありませんでした！
図を添付します。
また、私の提示した例の②は、今回の問題では水平方向の運動量が保存するため、もしかしたら不適切かもしれません。②はバスの例との比較のため入れたつもりでした。

お礼日時：2022/09/02 21:46

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2022/09/02 11:35

「互いに静止していない物体の全体の加速度」と言う概念はもちろん成り立ちます。

早い話、バスの中で子供が走り回っている場合(危ないですが話を分かりやすくするためにこう言う設定で)「子供を含めたバス全体の運動」は当然考えられるでしょう。むしろ「そんな概念は成り立たない」なんて言い出したら、バスの運動を論じる事は事実上不可能(or無意味)になります。

それから物体系全体の運動を考える場合、系を構成する個々の物体間に働く力は内力扱いになるので物体系全体の運動には影響しません。例えばバスの中で二人の乗客が綱引きをしていたとしても、綱を引っ張る力や乗客がバスの床を押す力がバスの運動に影響しない事はすぐに納得できるでしょう。問題文にある滑車に働く力や垂直抗力も内力扱いになるので全体の運動を考える場合には無視して構わない事になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
やはり、バスの中を子供が走ったとき、バスの床と子供の足の間で生じる摩擦力により、一瞬バスの加速度は子供の走る方向の逆向きに高まると考えてしまいます。全体として考えることで、内力が帳消しされるイメージはつくのですが、

全体の加速度がバスの加速度と一致する

というイメージがわきません。
内力の影響を誇張した例で考えさせてください。たとえば、質量の等しいある板と人(床と板の摩擦なし、床と人の摩擦あり)について、
①水平方向運動量が保存する場合(人が右に動き、板は左に動く)
②板を力fで一定に右向きに引き続けるとき(fは大きくなく、人が右向きに走り板は左に動く)
という場合を考えます。

この場合での全体の加速度とは、なにを示しますか？
板と人の運動の方向さえ違うのに、これらの運動を全体の加速度でまとめられるのか、ということが疑問です。ましてや、全体の加速度が板(ほかの例ではバス、台Aにあたる)と一致するのでしょうか？

お礼日時：2022/09/02 20:27

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/09/02 10:18

問題自体がよく把握できないのと、それぞれの物体の質量が分からない（M とか m, 2m など色々いろいろ出てくる）、摩擦を考量するのかどうか、などの条件が不明確なので、全体については何とも答えられません。

ただ、言えそうなのは

＞５行目 "全物体の水平加速度は台の加速度になりますので"→
・互いに静止していない物体の全体の加速度を考えられるのでしょうか。全体の加速度 という概念にピンときません。重心加速度と関係はあったりするのでしょうか。

図がよく見えないので、何がどれを指すのかよくわかりませんが、
・運動方向は「水平」のみ
・台（斜面）と物体A, C （斜面上のものと、鉛直落下のもの）が一体で動いている（離れて個別の運動をしているのではない）
であれば、すべては「一体で運動する」ので、台も物体も、水平方向の速度も加速度も「同じ」とみなせると思います。
そのどこが疑問なのでしょうか？

まずは、全体の問題文をきちんと提示してください。
（相当に長い問題文なので、いろいろが条件が書いてありそう）

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/09/02 08:45

Bの重さが無いようだけど、上で切れてる部分に書いてある？