不定一次方程式

不定一次方程式をユークリッドの互除法で解いたときに出てくる答えは最小ですか？

質問者からの補足コメント

• 解を自然数と定義するとどうですか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/03/16 20:59

• 回答ありがとうございます。では、ユークリッドをやって両方とも自然数だった時それは両方解が自然数である中で最小ですか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/03/17 01:39

• 今回、最小ではないということが皆さんのおかげで分かりました。しかし、私にはどうにもこの互除法で出てくる数に意味があると思ってしまいます。互除法であまりで割っていって小さくなって最終的には一つの特殊解が出てくる。でも、互除法はただの特殊解を出すツールでしかないのですよね？

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/03/19 01:59

No.5 回答者： koji25 回答日時： 2019/03/17 21:27

互除法は整数の範囲では最小でも何でもありません

回答で出てくる比例定数はいくらでも小さくできるからです
自然数の範囲でも最小とは限りません

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2019/03/17 12:55

基本的な事を一つ。

「ユークリッドの互除法」は 不定方程式を解くツールではありません。
考え方を利用して、特殊解を見つける 手助けをするだけです。
つまり、ユークリッドの互除法で 整数・自然数 の区別をする意味は 無いと思います。

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/03/17 06:32

>>両方解が自然数である中で最小ですか？

111x-30y=12を例に。

ユークリッドの互除法で特殊解(12,44)が求まる。
一般解は(10m+12、37m+44)

m=-1の時、(x,y)=(2,7)。自然数解だが、上の特殊解より小さい。

↓
ユークリッドの互除法で求めた特殊解が、一般解の中の自然数解中では最小、なんて事は無い。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/03/16 22:29

>>解を自然数と定義するとどうですか？

8x+11y=1を例にとります。

ユークリッドの互除法を使うと
1=3−2⋅1
=3−(8−3⋅2)⋅1
=3⋅3+8⋅(−1)
=(11−8⋅1)⋅3−8
=8⋅(−4)+11⋅3

特殊解(−4,3) が求まりました。

これ、自然数じゃ無いですよ。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/03/16 20:47

最小とは限らない。

特殊解の1個の例に過ぎない。

解は無限にあるから、特殊解から一般解を導いて示さないと、×になる。
重要なのは一般解だから、使う特殊解は何でも構わない。