n階微分方程式はなぜ任意定数がn個あるのですか。同じ質問に対する解答を読んでも今ひとつわかりません

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質問者：aska茶
質問日時：2017/05/07 14:54
回答数：5件

n階微分方程式はなぜ任意定数がn個あるのですか。
同じ質問に対する解答を読んでも今ひとつわかりません。
どうか、ご教授いただけませんか。

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回答 (5件)

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No.5

回答者： phyonco
回答日時：2017/05/11 18:23

まあ難しいことを言わんでも、

n個の任意定数a0, a1, ..., a(n-1)をもつ変数xのn-1次式
a0 + a1 * x^1 + a2 * x^2 + ... + a(n-1) * x^(n-1)
はn回微分するとゼロですね？なので、n階微分方程式の解にこれを足しても
同じ方程式の解となります。そういうわけで解にはn個の任意定数がある
ことになる。難しいことを言えば、この説明では解が任意の点の近傍で
いつでも多項式で表されていないと困るのだが、大体滑らかな解しか含まない
ような場合（大学２年程度まで）はこういう理解で良いでしょう。

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No.4

回答者：ナッキーナッキー
回答日時：2017/05/08 10:00

まず、一つずつ行きましょう(^^)

微分方程式の解をf(x,y,c)=0としておきます　c:任意定数
ここで、解として、陰関数の形を使いましたので注意して下さい(^o^)
で、cは任意定数ですから、cを変化させることで曲線群が得られますね(^^)
微分方程式は、もちろんこの曲線群の曲線一つ一つに対し成り立つはずですね(◎◎！)
ですから、f(x,y,c)=0を解に持つ微分方程式はc を含まないはずです(－＿－)
そこで、c を消去して微分方程式を作ることを考えます。
f(x,y,c)=0を微分して f'(x,y,c)=0を作ります・・・f'(x,y,c)=0は形式的に書いただけで、キチンとした微分の式を書いたわけではありませんので注意して下さい。
すると、f(x,y,c)=0とf'(x,y,c)=0 の２式を使ってc を消去することが出来ますね(^^)
これで、f(x,y,c)=0 を解とする１階微分方程式のできあがりです(^O^)

さて、次にf(x,y,c1,c2,・・・,cn)=0 と任意定数をn個持つ曲線群を考えます(^^;)ﾀｲﾍﾝ
これを解に持つ微分方程式は、c1,c2,・・・,cnの値を変えたときの曲線群全てに対して成り立たなければなりません(－＿－)
つまり、c1,c2,・・・,cnを消去してできあがったものが、f(x,y,c1,c2,・・・,cn)=0を解に持つ微分方程式となります(^^)

f(x,y,c)=0　の場合・・・f(x,y,c)=0とf'(x,y,c)=0　でcを消去　→ １階微分方程式
f(x,y,c1,c2)=0　の場合・・・f(x,y,c1,c2)=0、f'(x,y,c1,c2)=0、f''(x,y,c1,c2)=0　でc1,c2を消去　→　２階微分方程式
・・・
f(x,y,c1,c2,・・・,cn)=0　の場合・・・f(x,y,c1,c2,・・・,cn)=0、f'(x,y,c1,c2,・・・,cn)=0、・・・f(n)(x,y,c1,c2,・・・,cn)=0　で、c1,c2,・・・,cnを消去　→ n階微分方程式
・・・ただし、f(n)(x,y,c1,c2,・・・,cn)=0 はn階微分を表す

これで、n個の任意定数があるとn階微分方程式ができあがる事が分かるのではないでしょうか(^^)
これは、逆にn階微分方程式ではn個の任意定数が出てくる理由と見ることができますよね(^o^)

厳密な数学的証明ではありませんが、参考になれば幸いです(^^v)