曲線y= f(x)上の任意の点Pで引いた法線とx軸の交点をN、Pからx軸に下ろした垂線の足をHとする

曲線y= f(x)上の任意の点Pで引いた法線とx軸の交点をN、Pからx軸に下ろした垂線の足をHとする。線分HNの長さが一定値aである時、yが満たす微分方程式と直線の方程式を求めなさい。

この問題の解法をお願いします！教えてください！

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/25 12:15

> この問題の解法

を説明します。

> 曲線y= f(x)上の任意の点P

Pの座標を(p,q)とするとq=f(p)だ、ってことです。

> Pで引いた法線

（そんな変な言い方はしないだろうが、）曲線(x,f(x))のPにおける法線Lは、「(x,f(x))のPにおける接線S」と直交していてPで交わる直線です。この接線Sの傾きはfの導関数 f'（=df/dx） を使って表せますから法線Lの傾きもわかり、法線LがPを通るということから法線Lの方程式
　　y = αx + β
が決まります。したがってαはfの導関数を使って表されています。

> x軸の交点をN

Nの座標を(n,0)とすると
　　αn + β = 0
だ、ということですから、nがα, βで表せます。

> Pからx軸に下ろした垂線の足をH

Hの座標は(p,0)だ、ってことです。

> 線分HNの長さが一定値a

　　|n-p| = a
がどのpについても成り立つ、という条件です。n, α, βを消去すれば、この式はpとf(p)とf'(p)で書かれることになり、だからこれは「fが満たす微分方程式」になっています。

> yが満たす微分方程式

まず、上記の「fが満たす微分方程式」のpを改めてxへと、名前を変更する必要があります。そこへy = f(x)を代入してf, f'を消去します。

> 直線の方程式

　この問題の一体どこに「直線」なんてものが出てきた？なんのことなのか全くわかりません。

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます！
最後は曲線の方程式でした！すいません！

お礼日時：2022/12/25 12:37

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/26 13:11

やや面倒くさいのは、微分方程式に微分不可能な関数である

絶対値記号が入ってくることなんだけど...
｜(xとyとｙ’の式)｜ = a > 0 なら、
(xとyとｙ’の式) = a または (xとyとｙ’の式) = -a に分離されるだけ
だから、そう問題は無いか。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/12/25 11:57

＞曲線y= f(x)上の任意の点Pで引いた法線

この直線の式が書けますか？
それが「解法」のポイントです。
書けなきゃ解けません。

この回答へのお礼

ある点における傾きに垂直なのは分かりますが、あっているかは分かりません

お礼日時：2022/12/25 12:38