二次方程式の解

2次方程式　4x^2-2mx+n=o の2つの解が　０＜x＜１に含まれるような自然数　m、nを求めよ

という問題があるのですが…

とりあえずf(x)=4(x-1/4m)^2-1/4m^2+nと二次関数の形にしてみたのですがm、nを求めることが出来ません…。　恐らく別の解法があるのかと思います…。
ヒントでもいいので解法を教えてください。
よろしくお願いします。。

No.4 回答者： take008 回答日時： 2006/05/04 20:14

No.3さんの回答でほとんどよいのですが．．．

数学Ｉで，「２次方程式が２つの解をもつ」というと「異なる２つの実数解をもつ」のことですが
数学IIで，「２次方程式の２つの解が．．．」というと，必ず２つもつことを前提としています。
２つの異なる実数解，２重解（２つの解がたまたま一致している），共役な複素数解 の３つの場合があります。
したがって，この問題の場合，ｍ＝２，ｎ＝１（1/2を重解にもつ）のケースがあります。

No.3 回答者： postro 回答日時： 2006/05/04 16:09

f(x)=4(x-m/4)^2-m^2/4 +n

までできたら、y＝f(x)　のグラフを考えて、
次の条件を満たせば題意のように「2つの解が　０＜x＜１に含まれる」ことになります。
A:軸 x=m/4 が　0＜m/4＜1　であること
B:頂点のy座標　-m^2/4 +n が 　-m^2/4 +n＜0　であること
C:f(0)=n が　0＜n　であること
D:f(1)=4-2m+n が　0＜4-2m+n　であること
条件Aを満たす自然数mは、１または２または３
ここで条件Bも考えると、mは３のみ、nは１または２
そして条件Dを考慮すると・・・・
結論は、「題意を満たす自然数m,nは存在しない」
ということになると思います。

No.2 回答者： Xing 回答日時： 2006/05/04 14:06

#1 ですが。

ちなみに

f(x) = 4x^2 - 2mx + n

を変形したら、

f(x) = 4(x-m/4)^2 - m^2/4 + n

ではないかと。
少なくとも、m が分母に現れるような式にはならないはずです。
ここ間違ってるとあとが全部狂うので、もう一回検算してみたほうが良いかと。

No.1 回答者： Xing 回答日時： 2006/05/04 14:00

f(x)=4(x-1/4m)^2-1/4m^2+n

という変形まで行けたということは、ここからグラフの頂点の座標が分かりグラフの概形が書けます。

「2つの解が 0＜x＜1 に含まれる」
　　　↓
「グラフが 0＜x＜1 の間で、x 軸と2回交わる」

という点がヒントだと思います。