統計学に関する質問です。 以下のデータに二項分布B_N(4,p)を当てはめる。さらにカイ自乗検定を用

統計学に関する質問です。
以下のデータに二項分布B_N(4,p)を当てはめる。さらにカイ自乗検定を用いて二項分布の仮定が正しいか調べる。解答は添付画像の10.12です。
値x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 計
頻度f| 10 | 40 | 60 | 50 | 16 | 176

期待度数の求め方が分かりません。nの値が分からず、5,176等色々と入れてみても解答にあるような値になりませんでした。ご教示いただければ幸いです。

No.4 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/12/13 10:43

いやいや、教科書通り0.531でやってもいいが、0.53125を使わないと回答中の数値は出てこないということです。

あと、p＝0.53125の導出過程は#1に書いてありますよ。「尤度関数を対数尤度にして微分して０と置いて解く」です。よく読んでください。

さて、p^=0.531、を最初の式に代入してみると、

期待確率Pは、
P(x=0|p) = 0.04838284
P(x=1|p) = 0.2191155
P(x=2|p) = 0.3721225
P(x=3|p) = 0.2808771
P(x=4|p) = 0.07950201

期待度数は、
P(x=0|p) * 176 = 8.51538
P(x=1|p) * 176 = 38.56432
P(x=2|p) * 176 = 65.49357
P(x=3|p) * 176 = 49.43438
P(x=4|p) * 176 = 13.99235

このとおり、教科書の解答の期待度数の値と合いません。
そこで、より厳密な値である、p^＝0.5312、を代入すると、

期待確率Pは（結果のみ）、
[0] 0.04827976
[1] 0.2188683
[2] 0.372076
[3] 0.2811241
[4] 0.07965183

期待度数は（結果のみ）、
[0] 8.497238
[1] 38.52081
[2] 65.48538
[3] 49.47784
[4] 14.01872

これだと、解答中の数値に合致します。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
p^がpの厳密解であると理解出来ていませんでした。
適合度検定について勉強し直します。
ありがとうございました。

お礼日時：2021/12/13 11:09

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/12/13 10:45

#4です。

訂正があります。

より厳密な値である、p^＝0.5312、
↓
より厳密な値である、p^＝0.53125、

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/12/13 09:09

ごめんなさい。

最初の式は事象の生起確率Pの式だから期待確率しか出てきませんね。

その期待確率に176回という試行数を掛けると、期待度数が出てきます。

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あと、p＝375／(4×176)＝0.53125、ですが、p^＝・・・ですね。
逆推定した「推定値」ですからね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
p^=0.531ではないのですね。『逆推定した「推定値」』が何かよく分からないので導出する過程をご教示いただきたいです。
「p^を求めたら、最初のπ(p)の式にp=p^を代入することで期待度数が求まる」という認識で大丈夫でしょうか。

お礼日時：2021/12/13 09:39

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/12/13 08:56

教科書のコピーを載せていると著作権法違反になるので削除されますよ。

早めに回答を写しておいて下さいね。

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/12/13 08:53

解答の文章は訂正が必要です。

「データは二項分布に適合している」
↓
「データは二項分布に適合している仮定を否定できない」

ご質問のような仮説検定では、積極的に「二項分布である」ということはできません。本テキストは誤りですが、世間はそんなもんです。

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さて、これって、どんな実験をしたか分かりますか？

例えば４個のコインを投げると、うち４個中何個が「表」であるかが観測されます。この試行を１回とすると、全部でｎ＝176回の独立な試行を行っています。
問題文中の最初の10というのは、４個中0個だったという観測が10回発生したということです。

１個のコインの「表」の生起確率をスモールpとすると、１試行あたりの「表」がx個だったという事象の生起確率Pは、10.12の最初の二項分布の式です。()内の4,xは、日本ではnCxという組み合わせの数です。その国際表記です。

この式はまた、ｘが生起したときのｐを逆推定するための尤度関数パイπとみなすことができます。尤度関数とは同時確率であり、この式は４個の確率の積になっています。
ここから、ｐを逆推定してみます。最尤推定は尤度関数を微分して０と置けば解けます。

この尤度関数は、積の関数なので微分が大変です。そこで両辺の対数を取り、対数尤度に変換して微分します。

log(π)＝log(4Cx)+xlog(p)+(n-x)log(1-p)
これを微分して、
log(π)'=0+x/p+(n-x)/(1-p)*(-1)
これを０とおいてｐを解くと、10.12の２番目の式が出てきます。「ゆえに、」以降の式は通分して解いてみて下さい。
4nというのは投げたコインの総数です。4×176個投げたことになります。Σxはうち「表」が出た個数です。
Σｘは、0個が10回だから0個、1個が40回だから40個、2個が60回だから120個・・・、よって「表」の総数は374個です。
これよりスモールｐが逆推定できます。

p＝375／(4×176)＝0.53125、です。

解答では0.531としていますね。

あとは、このpを最初の式に代入してやれば、期待度数（理論値）が出ます。

やってみて下さい。