4次関数と二重接線に囲まれる面積を求めるときに、まず4次関数と1次関数の交点を求めたいのですが ax

4次関数と二重接線に囲まれる面積を求めるときに、まず4次関数と1次関数の交点を求めたいのですが
ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(mx+n)=
(x-α)^2(x-β)^2 という恒等式になるのはなぜですか？
どうして(x-α)(x-β)^3のようになるのはダメなのか教えてほしいです！

No.2 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/10/16 13:09

4次関数と接する訳だから、接点では重解になります。

これは2次関数も同じで判別式D>0なら2点で交わり、D=0なら1点で交わり、解2個が同じ点になるから重解です。

4次も同じで、1点で接していたら、その点で重解になります。

二重接線なので、同じ直線が4次関数と2点で接します。
1点で重解なので(x-α)²と言う因数を持ち、もう1点でも重解なので、(x-β)²と言う因数を持ちます。
4次関数なので、(x-α)²(x-β)²と言う因数にならざるを得ないです。

(x-α)(x-β)³だと、x=αの点で、4次関数を突き抜ける様に交わってしまいます。

尚、ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(mx+n)=a(x-α)²(x-β)²です。
係数aが付きますね。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2022/10/16 14:15

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/16 12:53

(x-α)(x-β)^3 じゃあ、x=α は接点じゃありませんよね。

ε が小さい数のとき、
((α-ε)-α)((α-ε)-β)^3 と
((α+ε)-α)((α+ε)-β)^3 が異符号になってしまいます。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2022/10/16 14:14