微分方程式の一般解

dx/dy＝-y/xの微分方程式の一般解を求めよ。という問題がまったく解けません。どなたか詳しく解説して頂けないでしょうか？

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/23 14:44

dx/dy = -y/x　⇔　x(dx/dy) = -y かつ x≠0.

両辺をyで積分して
左辺 = ∫x(dx/dy)dy = ∫xdx = (1/2)x^2 + (定数),
右辺 = ∫(-y)dy = -(1/2)y^2 + (定数)
より、式を整理して x^2 + y^2 = C　(Cは定数) となります。　←[1]

ただし、dx/dy が定義されること、x が 0 でないこと
が式の前提ですから、[1] の円周から (0,1) と (0,-1) を除いた曲線
が方程式の解になります。

微分方程式って、積分した式が導出できることに集中するあまり
細部の扱いが大雑把になりがちですが、
一応、物理ではなく数学なんですから、最低限の注意はしましょう。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/10/23 11:38

dx/dy＝-y/x

⇔x(dx/dy)=-y
両辺をyで積分
∫x(dx/dy)dy=∫(-y)dy
ここで、「x=f(y)とおくと、dx/dy=f'(y)ですから左辺は、∫x(dx/dy)dy=∫xf'(y)dy
更にx=f(y)と置いたならdx=f'(y)dyなんで,∫xf'(y)dy＝∫xdx」
結局「」部分から左辺は、x=f(y)という置換積分であるといえるから
∫x(dx/dy)dy=∫xdx=∫(-y)dy
→(1/2)x²=(-1/2)y²+C
⇔x²+y²=C (Cは任意定数）

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/10/23 11:36

「変数分離」というやり方です。

書かれた式が正確なら（左辺は dy/dx のような気がするが)、両辺に xdy をかけて
　xdx = - ydy

これを積分して
　∫xdx = -∫ydy
→　(1/2)x^2 = -(1/2)y^2 + C1 （C1 は積分定数)
→　x^2 + y^2 = C　(C ＝ 2C1）


もし、書かれた式が間違いで
　dy/dx = - y/x
なら、y≠0 という条件で両辺に (1/y)dx をかけて
　(1/y)dy = -(1/x)dx

これを積分して
　∫(1/y)dy = -∫(1/x)dx
→　log|y| = -log|x| + C2 （C2 は積分定数)
→　y = ±e^(C2)/x = C/x　(C ＝ ±e^(C2)）