曲面z^2=4axが柱面y^2=ax-x^2によって切り取られる部分の曲面積がわかりません。 多分答

曲面z^2=4axが柱面y^2=ax-x^2によって切り取られる部分の曲面積がわかりません。
多分答えはπa^2/2だと思いますが、私のやり方では2πa^2になってしまいます。

r=(x,y,z)=(a(cosθ)^2 , y , 2acosθ)とします。

∂r/∂θ=(-2acosθsinθ , 0 , -2asinθ)

∂r/∂y=(0, 1, 0)

これらから

(∂r/∂θ)×(∂r/∂y)=(2asinθ , 0 , -2acosθsinθ)

||(∂r/∂θ)×(∂r/∂y)||=2asinθ√(1+(cosθ)^2)

よって曲面積は

∫∫2asinθ√(1+(cosθ)^2)dydθ

y=±acosθsinθより、-a|cosθsinθ|からa|cosθsinθ|でyを積分すると

4a^2∫|cosθsinθ|sinθ√(1+(cosθ)^2)dθ

0からπ/2の範囲で積分し、絶対値をとり、4倍することによって得られた答えは2πa^2です。積分の部分は計算ソフトに任せたので間違いはありません。

どこがまちがっているのでしょうか。回答お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/02/04 09:48

a>0 とすると z≧0 です。

したがって、θ=0～π/2であり、y=acosθsinθ　です。
積分は
∫cosθsinθsinθ√(1+(cosθ)²)dθ=∫[u=0,1] u²√(2-u²) du=π/8
です。

なお、トリッキーなパラメータ変換をしなくても、普通の方が簡単と思います。
パラメータを(x,y)にとれば
<r>=<x,y,z>=<x,y,2√(ax)>
<∂r/∂x>=<1,0,√(a/x)> , <∂r/∂y>=<0,1,0>
<∂r/∂x>×<∂r/∂x>=<-√(a/x),0,1>
|<∂r/∂x>×<∂r/∂x>|=√(a/x+1)

S=∫|<∂r/∂x>×<∂r/∂x>|dxdy
=∫[x=0→a] √(a/x+1){∫[y=-√(ax-x²)→√(ax-x²)] dy} dx
=∫[x=0→a] √(a/x+1) 2√(ax-x²)] dx=2∫[x=0→a] √(a²-x²) dx
=2a²∫[x=0→1] √(1-t²) dt (x=at と変換)
=πa²/2

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！

お礼日時：2020/02/04 23:11