極方程式 追加質問

前回、極方程式について質問させてもらいました。

少し具体的に質問させて下さい。

質問1
はじめにP(r, θ)と置くときに、P(r, θ), r>=0と書く場合、これは極方程式を求めるときに距離OP(>=0)に対してr>=0だから、OP=rと置いて動経を距離そのものとして解釈する。こうして極方程式を求めたときに、例えばr=±√(1-cosθ)と求まったとします。このときr>=0で極座標を定義したのだから-√(1-cosθ)は、廃棄するかと思います。
また、r=2acosθのように求まった場合は、rが負になる区間π/2<θ<3π/2は、点が存在しないことになる。
つまり、P(r,θ), r>=0と書いたr>=0は、極方程式の解釈で動経rの負の解釈を行いませんよ、という宣言のようなものと考えて良いのでしょうか？

質問2
一方で、P(r,θ)とだけ置く場合を考えます。（r>=0を付けない場合です。）
この場合も、OPという距離（>=0）に対してOP=r
のようにおいて幾何学的に極方程式を求めることがあると思います。
この際、距離OP(>=0)に対してOP=rと置いてr自体を距離と解釈して幾何学的に極方程式を求めてる以上は、r<0となる範囲は、本来は意味を持たないはずです。
しかし、それだと本来表したい範囲の一部しか出て来ない場合があるかと思います。
この時、その部分をr>=0の範囲で表しうる、別の極方程式を幾何学的関係から求めて、2つの方程式で一つの図形全体を表すことが考えられると思います。
しかし、これだと式が2つになってしまい、スマートではありません。そこで、はじめに求めた極方程式に対して、r<0を認めることにした場合、r>=0として幾何学的関係から求めた2つ目の極方程式を(r,θ)=(-r, θ+π)の約束の元で同一の図形として解釈できる場合、このr<0というなんちゃって極座標を認める事で式がはじめの1本で済んでしまう。

当然、r=OPとやって、図形的にといてるわけだから、求まった極方程式は、質問1の場合と同様にr>=0と考えて求めた結果なんだけど、r<0となり、本来意味を持たない範囲を、別の式を登場させるのを避けるために無理やり図形解釈する。その結果、式を増やさないで済む。楕円（r=1/(1-cosθ)）のように、求まった式の形からマイナスになり得ないものも出てくることもありうるが、その場合は動経を、拡大解釈しないで、単なる距離(>=0)と見れば良いだけである。なので、求まった結果に対して、拡大解釈することで式の数を減らす場合があることを見越して、はじめに極座標を定義する際にP(r,θ)のようにだけ宣言する。（はじめに極座標の定義の所でr>=0を付けないことは、必要に応じて極座標を拡大解釈することを意味。不要ならもちろん、拡大解釈しない。）こういう理解でしょうか？

質問3
双曲線の極方程式を求めるときに、OP=|r|のように動経rに絶対値を、つけているものを見たことがあります。
これも、質問2の解釈と同じかもしれませんが以下のように考えました。横軸に双曲線が出ていると考えてください。（左側の枝と、右側の枝と表現します。左右に現れるグラフです。）
右側の枝は、r>=0の幾何学的関係からそのまま求まります。
ここで、左側の枝も極を反対側の焦点に取り直す事で同様にr>=0として、幾何学的に求めることも可能だと思われます。これだとr>=0の範囲で左右の枝を表せますが、式がやはり二本必要になる。
ところで、はじめに求めた右側の枝を表す極方程式を考える。r<0となる範囲（2本の漸近線のなす角度の範囲）は本来意味がありません。この極方程式も、図形的にOP=rと置いて求めてる以上は、r>=0だからです。
しかし、やはりここでも(r,θ)=(-r, θ+π)という解釈を許すことで、この意味を持たない区間を使ってうまい具合に左側の枝を表すことが出来るようになり、一つの式で許されることになる。
OP=|r|なので、右側の枝の範囲ではOP=r>=0となり、r<0となる左側の枝に対しては、OP=-r>=0となる。いずれも幾何学的な距離>=0になるので双曲線の場合は絶対値付きでOP=|r|と置いてといてるのでしょうか？

結局、繰り返しになりますが、p(r, θ), r>=0と置くことは、結果の極方程式に対して動経rに負の解釈を認めない、という宣言であり、
p(r, θ)とだけ置いて、OP=rとやって、幾何学的に解くやり方は、式の数を増やさないために、求まった極方程式の形によっては必要に応じて動経rを拡大解釈するよ、という宣言。こういうことなのかな？（くどいですが、はじめの極座標の宣言で、r>=0という宣言をしても、してなくても、幾何学的にOP=rとおいてる時点で、本来はr<0は意味を持たない。書いてた場合は拡大解釈の可能性が無くなる。書いてなかった場合は結果によって拡大解釈を行うことを、示唆。）

詳しい人、教えて下さい。

質問者からの補足コメント

• 

  極座標が、r>=0で定義される
  つまり、r=√(x^2+y^2)>=0
  よって、これは距離OP（>=0）とみなすことができ、OP=rとおける。もちろん幾何学的関係が成立するので、余弦定理などに使われる距離としてOP=r(>=0)を用いることができる。
  こうしてrとθの関係式、つまり極方程式を図形的に求めることができる。
  仮に、求まった式が一定のθの範囲でr<0になることがあるのであれば、そこは意味を成さないとして、点が存在しないと考える。
  例えば、r=2acosθ, a>0は、x軸の+方向に平行移動した円を表すが、π|2<θ<3π/2では、r<0となるのでこの方向には点が存在しないと考える。
  0<=θ<=π/2で上半分の半円（始線上を含む)。第4象限で下半分の半円となり、円全体をちょうど一周する。
  幾何学的に計算した結果がr=±√(1-cosθ)の場合-の式はr>=0に反するので捨てる。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/09/18 15:04

• 

  このように計算し、求まった極方程式についてr<0の部分は取扱えばよいということですかね？
  
  よろしくお願いします。

    補足日時：2020/09/18 15:06

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/18 19:19

←補足

r≧0 と仮定して導いた式が r<0 の値をとったら、
それはどこかで計算ミスをしてるだけ。

そうではなくて、r が正でも負でもよいような式で
x = r cosθ, y = r sinθ の (x,y) がある図形を示すなら、
それはそれで便利かもしれないねということ。
r<0 を含む式は、r = f(θ) の形をしていても
「極方程式」とは呼ばないけれども。

r<0 を含む場合、同じ点を2度数えないように、
θ にはある程度の制限が必要になることも忘れずに。

...という話は、このネタの前回質問のときに
諸氏の回答に出揃っていたはずだけど、
何に拘って、今回は何が質問したいの？ そこが判らん。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/18 01:25

何に拘っているのかがよく判らないんだけど、

「極方程式」と呼べるものは r≧0 のものだけだよ。
「極座標」の定義を反省してみたらいい。