【 数I 放物線と直線の共有点 】 問題 放物線y=x²+ax+bが点(1,1)を通り， 直線y=2

【 数I 放物線と直線の共有点 】
問題
放物線y=x²+ax+bが点(1,1)を通り，
直線y=2x-3に接するときの定数a，bの
値を求めよ。また，そのときの接点の
座標をいえ。ただし，a＞0とする。

解答(授業の板書)
※｢補足｣に写真貼った

疑問
解答には
｢このときの接点のx座標は-(a-2)/2｣
と書いてあるが、なぜこのときのx座標
がこのように表せるのかがわかりませ
ん。なぜこのように表せるのですか？

質問者からの補足コメント

• 解答

  
    補足日時：2022/07/18 09:58

• 解答(続き)

  
    補足日時：2022/07/18 09:58

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/18 10:28

疑問点の前まで、つまり

　a = 2√2
　b = -2√2
まではよいのですね？

質問に関しては、放物線と接線の方程式から y を消去した式（上の画像の4行目）
　x^2 + (a - 2)x - a + 3 = 0　　　　　　①
の解（つまり接点の x 座標）は、解の公式から
　x = {-(a - 2) ± √[(a - 2)^2 - 4(-a + 3)]}/2

ここで、判別式 D=0 から、ルートの中は「= 0」になるので
　x = -(a - 2)/2

これに a = 2√2 を代入して
　x = -[(2√2) - 2]/2 = 1 - √2


もちろん、正攻法で、①に a = 2√2、b = -2√2 を代入して
　x^2 + [(2√2) - 2]x - 2√2 + 3 = 0
として、これを解いてもよいです。
解の公式から
　x = {-(2√2 - 2) ± √[(2√2 - 2)^2 - 4(-2√2 + 3)]}/2
　　= -√2 + 1 ± √(2 - 2√2 + 1 + 2√2 - 3)
　　= -√2 + 1

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
D=0だったことを忘れていました。

お礼日時：2022/07/18 10:47

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/18 10:30

放物線y=x^2+ax+bが点(1,1)を通るから,

1=1+a+b
0=a+b
-a=b
b=-a
よって,放物線の方程式は
y=x^2+ax-a
放物線と直線y=2x-3の方程式からyを消去すると
x^2+ax-a=2x-3

x^2+(a-2)x-a+3=0…(1)

この判別式をDとすると,
D=(a-2)^2-4(-a+3)
放物線と直線が接するのでD=0となる
D=(a-2)^2-4(-a+3)=0
=a^2-4a+4+4a-12=0
=a^2-8=0
a^2=8
a>0から,a=2√2
b=-a=-2√2

また,このときの接点のx座標xは
(1)から
x^2+(a-2)x-a+3=0
{x+(a-2)/2}^2-(a-2)^2/4-a+3=0
{x+(a-2)/2}^2-{(a-2)^2-4(-a+3)}/4=0
↓D=(a-2)^2-4(-a+3)=0だから
{x+(a-2)/2}^2=0
↓
x+(a-2)/2=0
↓両辺に-(a-2)/2を加えると

x=-(a-2)/2

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/18 10:26

放物線と直線が接する条件に判別式使ってるじゃん。

接点の x座標は、その 2次方程式の重解だよ。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/18 10:14

放物線の傾きは微分して

　y'=2x+a
となる。接することは、これが、y=2x-3 の傾き2と等しいから
2=2x+a → x=(2-a)/2