dx/dt＝x-2y +e^t dy/dt＝-3x +2y+1 初期値[1,0] [x,y] この連

dx/dt＝x-2y +e^t
dy/dt＝-3x +2y+1
初期値[1,0] [x,y] この連立した微分方程式をラプラス変換や逆行列を使って解きたいのですが上手くいきません。解答を途中式含めて教えてください
とりあえず、ラプラス変換し、初期条件を代入した上で、行列での連立方程式な形をした後、逆行列を左からかけて、逆ラプラス変換しようとしても上手くいきませんでした

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/15 21:34

e^(-At) についても説明が要るかな？

A は、
D =
　　-1　　0
　　0　　4,
P =
　　1　　2
　　1　　-3
と置けば
A = P D (P^-1) と対角化できる。

-At = P (-Dt) (P^-1) なので、
e^(-At) = P e^(-Dt) (P^-1),
e^(-Dt) =
　　e^t　　0
　　0　　　e^(-4t).
と書けます。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/15 21:22

v =

　　x
　　y,
A =
　　1　　-2
　　-3　　2,
b =
　　e^t
　　1
と置くと、問題の方程式は
dv/dt = Av + b と書けますよね。
こう書いてしまえば、
一変数の一階線型微分方程式と同じ考え方だと判るのでは？

b = dv/dt - Av の両辺に左から行列 e^(-At) を掛けて
(e^(-At)) b = (e^(-At)) (dv/dt) + (e^(-At))(-A) v
　　　　　= (e^(-At)) (dv/dt) + { (d/dt)e^(-At) } v
　　　　　= (d/dt){ (e^(-At)) v }.
t で積分すれば
∫{ (e^(-At)) b }dt = (e^(-At)) v + c　；cは初期条件で決まる定数ベクトル
となって、
v = ((e^(-At))^-1) (∫{ (e^(-At)) b }dt - ｃ)
が解です。
((e^(-At))^-1) は (e^(-At))^-1 の逆行列、
∫{ (e^(-At)) b }dt の積分は成分ごとに行えば ok です。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/15 20:13

その「初期値」というのはどういう意味なの? そして, 具体的にはどこまでできていてどこでどう「上手くいかなかった」の?