東京大学大学院理学系研究科物理学専攻の過去問について

わからない問題があるので教えてください。
大門２の(2)、(4)で系の状態数を求めるのですが、状況設定が特殊で、どうやって考えればいいのかわかりません。
下は問題のURLです。
https://www.phys.s.u-tokyo.ac.jp/wp-content/uplo …

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2023/10/24 12:01

>これらの計算をする際は、N粒子系なら３N次元球の体積を利用して計算しています。

1粒子の状態数•状態密度の計算しようとする文脈で、わざわざN粒子系を経由する意図が想像できないのですが、例えば3次元自由粒子の状態密度はよく知られているように√εに比例します。
貴方の思ってるやり方でこの結果になりますか？

なるのなら基本的にはほぼ同じ計算をするだけです。球の半径の部分以外に変更はないはずです。
ならないのなら(なってないのだと思いますが)、ε_k1,ε_k2が間違っているのでしょう。


>(3)でε1+ε2を考えたのは、系のエネルギーがこれらの和で与えられると考えたためです。
では何故「系のエネルギー」なる物を求めようとしているのですか？
(3)はε_k1とε_k2という問題ですよね。ε_k1とε_k2を求めた後(問題で問われているものを求めた後)にε_k1+ε_k2を計算していそうなので何のために和を計算したのか？と聞いてるのです。
(4)以降で使うとか、個人的な興味、検算のためとか色々状況はあり得るでしょうが、一体何をしたいのかが分からない事には何も言いようがありません。


>計算した結果、ε1、ε2はkz,kyに依存しますが、和をとると打ち消しあってkzのみの関数になりました。
和を取った結果、kzが残ったと言ってるのならなら貴方の出したε_k1とε_k2の値は間違ってます。


>ここで私がわからないのは、今考えている粒子のエネルギー固有値がεk1とεk2なら粒子のエネルギーはεk1+εk2になると考えたのですが、そういうことではないということですか？

それは貴方の言う「粒子のエネルギー」が何を指すのか、何のために求めようとしているのか次第でしょう。少なくとも私には(3)やそれ以降の問いと関係するような話は思い浮かびません。そもそもε_k1+ε_k2という量に物理的な意味を見出す事すらできません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

自分が統計力学を理解できていないようなので、もう一度復習しなおしたうえで解きなおしました。

その結果、ε1,2の計算が間違っていました。
これを踏まえて、基本的な部分も見直したうえで解きなおしたら、なんとか最後まで解くことができました。
また、私の解答を確認してもらった結果、合っているとのことでした。

今回この問題を解いて、自分ができていない点や多くの勘違いしていた部分に気付くことができました。
それも、拙い私の質問に気長に答えてくださったあなたのおかげだと思っています。ありがとうございました。

お礼日時：2023/10/26 10:52

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2023/10/23 13:28

> 普通の自由粒子ならH＝(ℏk)^2/2mの形になりますから位相空間体積を考えてＮ粒子系なら３Ｎ次元球の体積から状態数が求められます。

お手持ちの文献で本当に3N次元の波数空間を考えていましたか？そういう議論は私は見た覚えがありませんが。
お手持ちの文献の再確認と自由粒子の場合の復習をお勧めします。

この問題で問われている物を含めて、状態密度というのは通常は1粒子状態に対して定義されるものです。


> また、（３）で固有値を求めた結果、系のエネルギー＝ε１+ε２がkzのみに依存し、kx,kyには依存しない形になりました。
ε1、ε2が何なのか、何故和を考えているのかさっぱり分かりませんが、(3)の固有値は当然kx,kyにも依存します。


> エネルギーがε以下になるkx,ky,kzの組合せを計算しても、結果が複雑になり、
複雑かどうかは人によって感じ方は違うかもしれませんが、やるべき計算の内容だけ見れば自由粒子の時よりも複雑になる要素はほぼありません。(3)の固有エネルギーの計算はちょっと複雑かなという程度です。


>この群速度を波数を用いて表してしまえば
>結局hν{(nx)^2+(ny)^2+(nz)^2}の形に書き換えられるような気がします。
「vは群速度(定数)」という設定なのに、vがkの関数であった場合の話をしようとしているという事ですか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

自由粒子の状態数は、古典的なハミルトニアンを元にエネルギーがE以下になるような位相空間体積を計算して、それをEで微分して得られる等エネルギー面の面積を求めます。これを元に系のエネルギーEを実現する状態数が得られます。
量子論的なハミルトニアンであれば、周期的境界条件からｋが離散的になるので、nx^2+ny^2+nz^2＜定数となり、これを満たすnxnynzを数えます。これを元に状態数が得られます。
これらの計算をする際は、N粒子系なら３N次元球の体積を利用して計算しています。

(3)でε1+ε2を考えたのは、系のエネルギーがこれらの和で与えられると考えたためです。計算した結果、ε1、ε2はkz,kyに依存しますが、和をとると打ち消しあってkzのみの関数になりました。

群速度の話は、群速度Ｖ＝電子の振動数ν×波長２π/kから。ℏＶ＝ℏνのような形になってうまいこと行くのではないかと考えました。その後実際に計算してみましたが、私の考え違いでした。


ここで私がわからないのは、今考えている粒子のエネルギー固有値がεk1とεk2なら粒子のエネルギーはεk1+εk2になると考えたのですが、そういうことではないということですか？

お礼日時：2023/10/23 15:39

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2023/10/22 14:17

> 状況設定が特殊で

特殊ではない場合なら状態密度を求められるのですか？
例えば1,2,3次元の自由粒子の状態密度とか。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。

いつもの状況設定であれば状態数も求められます。
普通の自由粒子ならH＝(ℏk)^2/2mの形になりますから位相空間体積を考えてＮ粒子系なら３Ｎ次元球の体積から状態数が求められます。
しかし、今回の問題ではハミルトニアンが群速度（定数）を用いて与えられているので、波数の因子が２乗ではなく１乗になっています。この点で苦戦しています。

また、（３）で固有値を求めた結果、系のエネルギー＝ε１+ε２がkzのみに依存し、kx,kyには依存しない形になりました。
これを踏まえて位相空間体積を計算しようとしたのですが、エネルギーがε以下になるkx,ky,kzの組合せを計算しても、結果が複雑になり、間違っていると思うのです。

返信を書きながら思ったのですが、この群速度を波数を用いて表してしまえば
結局hν{(nx)^2+(ny)^2+(nz)^2}の形に書き換えられるような気がします。それでもエネルギーがε以下になる範囲でkx,ky,kzが取りうる組合せを計算すると今までと同じ結果になるようにも思います。

そういうわけでかなり苦戦しています。
考え方のヒントや、私の考え方の間違いに対する指摘でもいいので、ぜひお力添えをお願いします。

お礼日時：2023/10/22 21:05