下記の問題について、「5は素数なので、2個以上の整数の積ではないので、整数aは一種類の因数nだけ」の意味がよく分からなかったので、詳しく教えてほしいです。
問題
2ケタの整数aの約数は、1およびaとそのほかに3個で,合計5個ある。このaを3倍して3aとしたところ,約数は3aだけが増え、合計6個となった。この2ケタの整数aの十の位と一の位の数の差として,正しいものはどれか。
解説
整数aの約数は全部で5個あるが、5は素数なので、2個以上の整数の積ではないので,整数aは1種類の因数nだけでできており,a=n^4と表される。aは2ケタの整数なので,n=2または3である。
答え
7
よろしくお願いします。
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
a が 3 の倍数でないなら, 3a の約数の個数は a の約数の個数の 2倍になる. つまり「a の約数が 5個で 3a の約数が 6個」である以上 a は必ず 3 の倍数でなければならない.
あるいは, a が 3 の倍数でないとすると, 3a の約数として必ず「3」が増える. これと「約数は3aだけが増え」を組合せると
a は 1 または 3 の倍数
であることがわかる.
いずれにしても a=2^4 は不適.
No.4
- 回答日時:
う~ん.
「2^4,3^4・・・と吟味していって選択肢と照らし合わせる」んだったら「5は素数なので、2個以上の整数の積ではないので、整数aは一種類の因数nだけ」の意味なんぞわからずとも解けてしまうのだが....
「5は素数なので、2個以上の整数の積ではないので、整数aは一種類の因数nだけ」の意味を理解したなら, さらにその先の「このaを3倍して3aとしたところ,約数は3aだけが増え、合計6個となった。」にも応用してほしいのだ.
a=n^4と表される。aは2ケタの整数なので,n=2または3。
↓
ここですぐにn=3や答え7が導き出せるということでしょうか?
言葉足らずだったかもしれません。私のプロセスは、
a=n^4と表される。aは2ケタの整数なので,n=2または3。
↓
n=2のとき、16を3倍すると48は約数が10個だから違う
↓
n=3のとき、81を3倍すると243は約数が6個だから題意に合ってる
↓
8-1=7
みたいな流れをイメージしていました!
No.2
- 回答日時:
素因数の値が複数あると、約数の数が合成数になる
例えばa=p^m・q^n (p≠qでm>0、n>0)なら約数の数=(p+1)(q+1)
よって
a=p^4 (pは素数)
No.1
- 回答日時:
一般に正整数 n が
n = p1^e1 p2^e2 ... pk^ek
(p1, p2, ..., pk は全て異なる素数で e1, ..., ek は非負整数)
と書けるとき, その約数の個数は
(e1+1)(e2+1)...(ek+1)
なのだ.
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皆様ありがとうございます。
指数+1の積が約数の個数。
この結果が素数なら、例えば5なら、5×1か1×5しかない。
a=n^4×m^0の時、(4+1)(0+1)=5となる。
b^0は1だから、実質的にa=n^4しかない。
ということですか!