関数の逆写像

次の関数に逆写像が存在するかどうかを、根拠とともに答えよ。
(1) f(x)=(x+2)/(x-1) （定義域はx=1を除く全実数）

という問題の解き方で

y=(x+2)/(x-1) のグラフを書いて、
水平な切り口が一つずつだということを証明すれば
逆写像が存在するという根拠になりますか？？？

No.3 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2006/10/27 20:55

X=R-{1}とおくと

f: X -> X , f(x)=(x+2)/(x-1)
とかける
y=f(x)とおき，xについて解けば，x=(y+2)/(y-1)
したがって，g: X -> X, g(x)=(x+2)(x-1) とおくと
f(g(x))=x，g(f(x))=x したがって，gはfの逆関数．

こういう簡単な写像の場合は実際に構成したほうが早いでしょう．

根拠は
写像 f: X -> Y， g: Y -> X に対して
fg=id，gf=id であれば，f，gはともに全単射で
互いに逆写像となるということです．
証明は簡単．
f(x1)=f(x2)とすると，x1=g(f(x1))=g(f(x2))=x2 (gf=idより)
よってfは単射．
Yの任意の元yに対して
y=f(g(y)) (fg=idより)
したがって，x=g(y)とおくことで y=f(x) つまりfは全射
gについても同様．互いに逆であることは明らか．
＃これをばらした命題である，
＃gf=idとなるgがあればfは単射，
＃fg=idとなるgがあればfは全射というのも
＃よくある練習問題

No.2さん
>逆写像は全単射の場合でないと存在しないと思います

逆写像の存在は全射性よりも単射性の方が本質です．
単射でありさえすれば，像だけを考えることで
「逆写像」は構成可能です．
その典型的な例がarcsin，arccosとか，
y=x^2 (x>=0)の逆関数でしょう．
したがって，本来ならば，逆写像を考える場合は
もとの写像の値域側の集合も明示する必要があります．
＃単射ではないときでも逆を考えたいようなケースが
＃群とかの準同型定理ですね

No.2 回答者： connykelly 回答日時： 2006/10/27 19:14

逆写像は全単射の場合でないと存在しないと思います。

従って単射が存在することと全射が存在することを証明しなければなりません。Rを実数領域として(但しx=1を除く）
(1)単射条件はx1、x2∈Rがf(x1)=f(x2)を満たしているときx1=x2となることを示せればわけで、今の場合(x1+2)/(x1-2)=(x2+2)/(x2-2)として式を展開整理するとx1=x2が得られますのでfは単射であるということになります。
(2)次に全射であることはy∈Rを任意にとり、このときy=f(x)となるx∈Rが存在することを示せばよいので、今そのようなxが存在したと仮定しy=f(x)=(x+2)/(x-1)をxについて解いてx=(y+2)/(y-1)が得られます。y∈Rに対してx=(y+2)/(y-1)∈Rをとればf(x)=(x+2)/(x-1)にx=(y+2)/(y-1)を代入しその結果f(x)=yとなります。つまりfは全射となります。
以上でfは単射でかつ全射であることを示せましたから逆写像が存在することが証明できました。尚、逆写像f^(-1)は。fが全射になることの証明からf^(-1)(y)=(y+2)/(y-1)であることになります。
以上、ゴタゴタと書きましたが適当な集合論のテキストを見て理解を深めていただければと。。。

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2006/10/27 00:26

単射なら逆写像が存在するんで，

任意のx,yについて f(x)=f(y)　⇒ x=y
を証明すればよいです．