dy=dy/dx・dxの求め方

dy/dx=dy/dx から両辺にdxを掛けたようになっておりますが、
dy=dy/dx・dx を求めるために
微分法等の公式を活用してどのようにすれば求められるのでしょうか？
dy/dx はyをxで微分するということを表しており、dy/dx は分数とは異なると理解しておりますが・・・
どうぞ宜しくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： fjfsgh 回答日時： 2007/03/20 16:07

質問者さんは、（いいかげんな）工学系の本を読まれてるので、混乱していると思います。

数学の本を読めば、厳密に書かれています。

"f'(x)・△x を点x における函数y=f(x) の微分と名づけて、それを dy で表わすことにする．すなわちこの定義によれば
　　　　　　　　　　　　 dy＝f'(x)・△x.　　　　　　　(4)
今同様の意味において、x それ自身をx の函数とみれば、x'＝１だから、
　　　　　　　　　　　 dx＝△x.
故に上記の定義の下において、△x はx の函数なる x の微分である．これを (4) に代入すれば、
　　　　　　　　　　　　dy＝f'(x)dx　　　　　　　　 (5)
これを
　　　　　　　　　　　 dy/dx＝f'(x) 　　　 　　　(6)
と書くならば、記号dy/dx においてdx および dy が各々独立の意味を有するから、
dy/dx は商としての意味を有する。"

この回答へのお礼

fjfsgh様ありがとうございました。
「f'(x)・△x を点x における函数y=f(x) の微分と名づけて、それを dy で表わすことにする．すなわちこの定義によれば　dy＝f'(x)・△x」という定義があったのですね。　

お礼日時：2007/03/22 08:37

No.2 回答者： andybell 回答日時： 2007/03/20 16:44

>dy/dx はyをxで微分するということを表しており、dy/dx は分数とは異なると理解しておりますが・・・

これは正しいです。
dy/dxでひとつの記号であり、分数ではありません。
（ただ、微分はその定義から、“分数の極限”とはいえるでしょう）

置換積分を例に挙げると、y=g(x)とおくとき、
∫f(y)dy=∫f(g(x))(dy/dx)dx
ですよね。
本来ならば、ちゃんとdy/dxを求め、右辺に代入し、積分するのが正当な流儀なはずです。

ただ、dy/dx=g’(x)を「あくまで形式的に」dy=g’(x)dxと書くことがあります。このほうが計算が簡単になりますからね。

ですから、ご指摘の
>dy/dx=dy/dx から両辺にdxを掛けたようになっておりますが
にあるように、まさにdxを掛けた「ように」なっているのです。

このことを認識せずに「形式的に」計算している人は結構多いのではないでしょうか。
なので、よい“気付き”だと思います。

で問題としている
>dy=dy/dx・dx を求める
ですが、これはまずdy/dxを求めて、dy=dy/dx・dxの式に「形式的に」当てはめればよいでしょう。

（質問者は置換積分を問題としていると、こちらで勝手に判断させて頂きました。もし違っていたらごめんなさい。でも参考になると思います。）