ある問題で、
(x^2+y^2)^2 = a~2(x^2-y^2) のとき、yをxの関数とみて極値を求めよ。x>0とする。
という問題があるのですが、陰関数f(x,y)=0のとき、yをxの関数とみて極値を求める方法として、
1). f(x,y)=0かつfx(x,y)=0を満たすx,yを求める。
2). 1)の解(x,y)=(x0,y0)について
fxx/fy > 0 → y=y0は極大値…
という手順を踏むのですが、なぜ1)でfx=0を求めるのでしょうか?
陰関数といっても、普通にyはxの関数としてみるのならば、dy/dx=0を求めればいいような気がするのですが…。その次は、なぜ、d^2y/dx^2を求めるのでしょうか?こっちは、普通に2階微分してるのが、よく分かりません。
かなり頭がこんがらがっている気がします。よろしくお願いします。
No.1
- 回答日時:
> fx=0を求めるのでしょうか?
この時のxの値のところで、y=f(x)のグラフの傾斜が0になっているからです。
fx(x,y)=0,f(x,y)=0を連立させることで,yが極値となる点の候補がすべて求められます。
> y'=dy/dx=0を求めればいいような気がするのですが…
dy/dx=y'(x,y)=0からy'=0となるxは求まりません。陰関数なので一般的にはy'がxだけで表せません。
xとyの関係式だけで極値の候補点となるxが決定できなければy'を使う意味がありません。
> なぜ、d^2y/dx^2を求めるのでしょうか?
極値候補点の(x,y)座標が1)で計算できていますから、極値候補点におけるd^2y/dx^2=y"(x,y)が計算できて、グラフが上に凸か、下に凸かの判別が可能です。つまり、極大値、極小値の判別にy"(x,y)が使えるわけですから、求める意味があるのです。
実際に質問の問題に1),2)の方法を適用するとa>0として
(x,y)=(±a(√6)/4,a(√2)/4)で極大値3(√2)/(2a)
(x,y)=(±a(√6)/4,-a(√2)/4)で極小値-3(√2)/(2a)
が求まりますのでやってみて下さい。
[参考]
y'=dy/dx=-fx/fyですから、
y'=0とfx=0とは同じ意味合いを持ちます。
No.2
- 回答日時:
f(x,y)=0 の両辺を d/dx して、(∂f/∂x)+(∂f/∂y)(dy/dx)=0 …(*)。
よって、fx(x,y)=0 は dy/dx=0 となるための必要条件です。
もちろん、fx(x,y)=fy(x,y)=0 であれば dy/dx≠0 であっても
(*)は成り立ちますから、十分条件ではありませんが。
元々、dy/dx=0 は y が極値をとるための必要条件に過ぎませんから、
ここでだけ同値性にこだわっても意味が無いのです。
必要条件で押して、極値点の候補を絞り込みましょう。
y が x の関数として微分可能な範囲に極値を持つならば、
その点上では、f(x,y)=fx(x,y)=0 が成立しなくてはなりません。
それが、手順の1)です。
(*)を再度 d/dx して、(fxx)+2(fxy)(dy/dx)+(fyy)(d^2 y/dx^2)=0。
よって、dy/dx=0 となる点上では、d^2 y/ dx^2 = -(fxx)/(fyy) です。
手順の2)は、fxx/fyy>0 の間違いでしょう。
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