"1+1=2"→"13は素数である" は真か偽か

"1+1=2"→"13は素数である"　は真ですか？偽ですか？

偽であるのなら，反例は何でしょうか？
真であるのなら，新たな疑問がわきます．

その新たな疑問というのは，
A→Bが真
であるのなら，ヴェン図で言うとAはBにスッポリ包まれているはずですが，
"1+1=2"は"13は素数である"に包まれていない気がするのです．(言い換えますと，13が素数である理由は1+1=2であるからではない気がする)
包まれていなくても真と言えるのでしょうか？

そもそも
"1+1=2"→"13は素数である"
は命題ではないのでしょうか？

よろしくお願いいたします．

No.4 ベストアンサー 回答者： boiseweb 回答日時： 2010/06/27 22:19

数学で「ならば」の意味で「→」を使って作られる命題には，次の2つのパターンがあることに注意する必要があります．

(1) p→qで，pやqが「真か偽かが確定している文や式」の場合．
(2) P(x)→Q(x)で，P(x)やQ(x)が「変数xを含んでいて，xに値を代入すると真か偽かが確定する文や式」の場合（ただしxはy,a,bなど別の文字かもしれないし，変数が複数あるかもしれない）．

(1)のp→qに現れるpやqを「命題」といいます．一方，(2)のP(x)→Q(x)に現れるP(x)やQ(x)は「変数xについての条件」と呼んで，「命題」とは区別します．

この分類でいうと，「"1+1=2"→"13は素数である"」は(1)の類型です．
そして，ヴェン図がどうとか，反例がどうとか議論できるのは，対象となる文が(2)の類型の場合であって，(1)の類型の文では議論のしようがないのです．

(1) の類型の文「p→q」について，「p→q」が真であるかどうかは，数学の世界では次の方法で決めると規約されています．
========
p,qの真偽の組み合わせが『真,真』,『偽,真』,『偽,偽』のときに「p→q」は真，『真,偽』のときに「p→q」は偽と定める．
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言い換えれば，「p→q」は「『pが真なのにqが偽』という状況だけは起こらない」という主張を表している，という考えで，「p→q」の真偽を定めるわけです．

この規約に従うと，"1+1=2"，"13は素数である"はどちらも真なので，「"1+1=2"→"13は素数である"」は真です．
でも，それが真であることの理由づけをヴェン図に求めることはできないのです．

ヴェン図の考察が意味を持つのは，(2)の類型の「P(x)→Q(x)」を考えるときです．
たとえば，議論の対象は正の整数全体として，P(x)を「xは4の倍数である」，Q(x)を「xは偶数である」としましょう．
ここで，P(x)は「変数xについての条件」ですが，条件P(x)そのものを考える代わりに，「条件P(x)をみたす正の整数全体の集合」を考えてみます．この集合を条件P(x)の真理集合と呼びます．今の場合，P(x)は「xは4の倍数である」ですから，P(x)の真理集合は「4の倍数全体の集合」です．同様に，Q(x)は「xは偶数である」ですから，Q(x)の真理集合は「偶数全体の集合」です．
そして，P(x)の真理集合がQ(x)の真理集合の部分集合である（ヴェン図でいうと「P(x)の真理集合がQ(x)の真理集合にすっぽり含まれている」）ことと，「P(x)→Q(x)」が真であることは同じです．今の例では，「4の倍数全体の集合」は「偶数全体の集合」の部分集合なので，「P(x)→Q(x)」すなわち「『xは4の倍数である』→『xは偶数である』」は真です．

この場合でも，ヴェン図で包んだり包まれたりするのはあくまで「P(x)の真理集合」と「Q(x)の真理集合」，つまり「集合」であって，「条件」であるP(x)やQ(x)そのものではないことに注意してください．

数学の論理の体系には，(1)のpやqのような「命題」だけを扱う体系と，(2)のP(x)やQ(x)のような「条件」も含めて扱う体系があります．前者を「命題論理」，後者を「述語論理」といいます．
ヴェン図を使って議論できるのは，述語論理の場合です．P(x)やQ(x)のような「条件」は，対応する「真理集合」を考えて，その「真理集合」をヴェン図で描くことができるからです．
高校までの数学で「→」を使う場合というのは，述語論理の議論である場合がほとんどです．

No.3 回答者： at9_am 回答日時： 2008/07/02 07:29

> "1+1=2"→"13は素数である"　は真ですか？偽ですか？

一般的には偽です。

例えば 5 進数の場合を考えてみましょう。すると、13 は 10 進数で 8 となるため、素数にはなりません。


しかしながら、10 進数で通常の加減乗除の法則が成り立つ場合は、真です。

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2008/07/01 22:10

こんばんは。

数学の専門家ではありませんが、

１＋１＝２　は、
１に始まり２，３，４，５・・・・・という自然数が、ステップ＝１　で無限に存在することを示しています。

そして、乗法は加法の拡張として考えられます。
１＋１＋１　＝　１×３
２＋２＋２　＝　２×３

そして、除法は乗法の逆として考えられます。
６÷２　＝　３　あまり　０　（２、３は６の約数）
７÷３　＝　２　あまり　１　（割り切れない）

このように、「１＋１＝２」という１つの決まりから加法、乗法、除法が導かれます。


素数とは、１とそれ自身以外の約数が存在しないことです。

つまり、加法、乗法、除法、約数という言葉の定義は必要ですけれども、
１＋１　＝　２　　→　　１３は素数である
は、立派な命題であり、そして、上記の説明からわかるとおり、真です。
（ちゃんとした証明の形で書くと、面倒ですけれども）



それから、ベン図の件ですが、
「１＋１＝２」を「１＋１＝２　が成り立っている世界」に、
「１３は素数である」を「１３が素数である世界」に、
それぞれ言葉を直してみればわかると思います。
すなわち、
「１＋１＝２　が成り立っている世界」
は、
「１３が素数である世界」
にすっぽり包まれています。


「１＋１＝２」が成り立たない世界の定義も可能でしょう。
すると、素数の定義は拡張されるはずです。
ですから、「１＋１＝２　が成り立っている世界」は「１３が素数である世界」の内側にあると考えて良いと思います。


以上、ご参考に。

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/07/01 21:54

>"1+1=2"→"13は素数である"　は真ですか？偽ですか？

真です。

>"1+1=2"は"13は素数である"に包まれていない気がするのです
A, B で言うなら、A = B = Ω(全体)という状態です