No.2ベストアンサー
- 回答日時:
Rをユークリッド整域とする。
IをRの任意のイデアルとして、Iが単項イデアルであることを証明する。
I={0}であれば、これは単項イデアルである。
(定義にあてはまってることは確認するまでもないかも…)
よって、I≠{0}とする。
このとき、{N(a)|a∈I,a≠0}はNの空集合でない部分集合なので、大きさが最小となる元が存在する。
N(g)がその最小値になるようなg∈Iを1つとる。つまり、gはIの元であり
N(g)=min{N(a)|a∈I,a≠0} …☆ をみたす。
このとき、任意のgに対して、g∈Iであるから、(g)⊂Iは成り立つ。
↑単項イデアルの記号
次に、b∈Iとする。ユークリッド整域の定義より
b=qg+r,N(r)<N(g)をみたすq,r∈Rが存在する。
bとgはイデアルIに属しているから、r=b-qgもイデアルIの元である。
もし今、r≠0ならば、N(r)<N(g)に矛盾する。
( ↑ N(g)は☆より最小の元だから…)
よってr=0でなくてはならない。
よって、b=qrとなるので、b∈(g)。
bはI任意の元だったので、I⊂(g)が成り立つ。
以上より、I=(g) ((g)⊂Iであり、I⊂(g)であるから…)
よって、Iは単項イデアル。
また、整数環Zや実数上の一変数多項式環R[X]はユークリッド整域(本当にそうであるのか確かめてみてくださいね)なので単項イデアルである。
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