にゃんこ先生といいます。
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…
という群数列の一般項を、ガウス記号などを用いて書くとどうにゃるのでしょうか?
a[n]=k
とすると、
第k群の最後の項は、
1+2+…+k=k(k+1)/2
より第k(k+1)/2項にゃので、
(k-1)k/2 < n ≦ k(k+1)/2
をkについて解けばいいのですが、具体的にはどうかけるのでしょうか?
また、
1,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,5,…
という群数列の一般項を、ガウス記号などを用いて書くとどうにゃるのでしょうか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
※再訂正
ANo.1の結果
An = k = [k] = [1 + √(8n - 7)]
訂正 ⇒ An = [(1 + √(8n - 7))/2]
※追加
Excelで確認してみました.第16項まで表示しています.
○1つ目の群数列
n (-1 + √(8n + 1))/2 (1 + √(8n - 7))/2 An
1 1 1 1
2 1.562 2 2
3 2 2.562 2
4 2.372 3 3
5 2.702 3.372 3
6 3 3.702 3
7 3.275 4 4
8 3.531 4.275 4
9 3.772 4.531 4
10 4 4.772 4
11 4.217 5 5
12 4.424 5.217 5
13 4.623 5.424 5
14 4.815 5.623 5
15 5 5.815 5
16 5.179 6 6
○2つ目の群数列
n log(n + 1)/log2 log2n/log2 An
1 1 1 1
2 1.585 2 2
3 2 2.585 2
4 2.322 3 3
5 2.585 3.322 3
6 2.807 3.585 3
7 3 3.807 3
8 3.170 4 4
9 3.322 4.170 4
10 3.459 4.322 4
11 3.585 4.459 4
12 3.700 4.585 4
13 3.807 4.700 4
14 3.907 4.807 4
15 4 4.907 4
16 4.087 5 5
切り上げの関数を用いれば,左側でも表せますね.
No.2
- 回答日時:
※訂正
ANo.1の結果にガウス記号[ ]が抜けています.
[k] = [(1 + √(8n - 7))/2]
An = k = [k] = [1 + √(8n - 7)]
※追加
数列 1,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,5,… の場合は
An = k (ただし,2^(k-1) ≦ n ≦ 2^(k) - 1 , kは自然数)
ですので,
2^(k-1) ≦ n ≦ 2^(k) - 1
をkについて解くと,
log(n + 1)/log2 ≦ k ≦ log2n/log2 (底はすべて自然対数)
以下,ANo.1と同様にして
An = [log2n/log2]
No.1
- 回答日時:
面白い発想ですね.
求めたいものは,
An = k (ただし,(k^2 - k + 2)/2 ≦ n ≦ k(k + 1) , kは自然数)
ですので,仰るように,
(k^2 - k + 2)/2 ≦ n ≦ k(k + 1)
を kについて解けばOKです.
実際に解くと,
(-1 + √(8n + 1))/2 ≦ k ≦ (1 + √(8n - 7))/2
となります.
したがって,これを満たす自然数kが求めるものです.整数化するためにガウス記号を用いて,
[k] = (1 + √(8n - 7))/2
が得られます.
もともと,kが自然数のときは,
k = [k]
が成り立つので,
An = k = [k] = (1 + √(8n - 7))
となります.
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