確率・標準偏差について

こんにちは。確率（標準偏差）の勉強をしています。平均と標準偏差を求める問題なのですが標準偏差の求める方法が分かりません。問題は、「中学校の3年生は女子263人、男子282人からなり、女子生徒の身長の平均は155.5で標準偏差は4.0。男子は身長の平均は163.0で標準偏差は4.4である。この学校の3年生の全員の身長の平均と標準偏差を求めよ」と言う問題です。各男女の生徒数と平均身長をかけて、男女を足し、それを全体人数で割ると全体平均が出たのですが、そこからの標準偏差の出し方が分かりません。ご回答お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/01/22 22:04

全体の標準偏差 = √(全体の分散),

全体の分散 = { (各人の身長) - (全体平均) }の２乗の合計 / (全体人数),
全体人数 = (男子の人数) + (女子の人数),

{ (各人の身長) - (全体平均) }の２乗の合計
= { (各人の身長)の２乗 - 2(各人の身長)(全体平均) + (全体平均)の２乗 } の合計
= { (各人の身長)の２乗の合計 } - { 2(各人の身長)(全体平均)の合計 } + { (全体平均)の２乗 × (全体人数) }
= { (各人の身長)の２乗の合計 } - 2(全体平均){ (各人の身長)の合計 } + { (全体平均)の２乗 × (全体人数) }
= { (各人の身長)の２乗の合計 } - 2(全体平均){ (全体平均) × (全体人数) } + { (全体平均)の２乗 × (全体人数) }
= { (各人の身長)の２乗の合計 } - { (全体平均)の２乗 × (全体人数) },

(各人の身長)の２乗の合計
= { (男子の身長)の２乗の合計 } + { (女子の身長)の２乗の合計 }
= { (男子の分散) × (男子の人数) } + { (女子の分散) × (女子の人数) }
= { (男子の標準偏差)の２乗 × (男子の人数) } + { (女子の標準偏差)の２乗 × (女子の人数) }.

No.3 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/01/23 13:04

女子または男子のみの分散をS^2、全体の平均をμとすると

S^2=Σ(x-<x>)^2 /N =Σ[(x-μ)-(<x>-μ)]^2/N
=Σ[(x-μ)^2-2(x-μ)((<x>-μ)+(<x>-μ)^2]/N
=Σ(x-μ)^2/N-2(<x>-μ)Σ(x-μ)/N+(<x>-μ)^2
=Σ(x-μ)^2/N-(<x>-μ)^2

したがって、

Σ(x-μ)^2=N [ S^2+(<x>-μ)^2 ]

これで全体の分散が出ると思いますが、どうでしょう。

No.1 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/01/22 16:36

標準偏差の二乗を分散といいますが(※)、xという量の平均を<x>と書くことにすると

(xの分散) = Σ(x-<x>)^2/N

一方、平均はというと、

(xの平均) =<x>= Σx/N

平均の場合にN×(xの平均) =Σxを計算して全体平均を出すことができたのですから、
同じように全体の分散も計算できるのではないですか？

全体の分散が計算できれば、後はそれの平方根をとるだけです。

※ 定義は逆で、標準偏差は分散の正の平方根と定義されています。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。同じように計算しても正解の答えが出ません。具体的に式を教えて下さい。お願いします。

補足日時：2009/01/22 17:08