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おしえてください。
断熱圧縮で容積を1/22にした場合、23℃だった空気の温度は何度まで上がりますか!?
PV=RT
PVκ乗=Const.
を利用して解いてください。κは1.4です。
だれかわかるかたいたら教えてください。
よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

>途中の計算式を教えてください!


どこを聞かれているのかしら?
(1)No1さんの数値計算?
PV^κ=const
が断熱圧縮の式になります。初めと終わりでconstだから
PiVi^κ=Pf(Vi/22)^κ
一方PiVi=R*296, PfVf=RTfです。(TfはT finalで圧縮後の温度の意味です。)そしてPfVf=PfVi/22です。よってこれからPi、Pfを解いて上の式に入れれば
(296R/Vi)*Vi^κ=(TfR/(Vi/22))*(Vi/22)^κ
296R*Vi^(κ-1)=TfR*(Vi/22)(κ-1)
Tf=296*22^(κ-1)
です。No1さんの式と何も変わりません。κ=1.4ですから、κ-1=0.4となります。22の0.4乗ですが、関数電卓でもつかえば3.443と出てきます。これに296をかければ1019 Kがでます。
(2)CpとCvの関係
Cp=Cv+L*(∂V/∂T)_p
ここでLtは体積変化の潜熱で、dQ=CvdT+LdVに由来します。
L=(∂U/∂V)_T+P
になります。理想気体の理想気体の場合、内部エネルギーは温度のみに依存するので、
L=P
になります。すなわち
Cp=Cv+P*(∂V/∂T)_p
です。理想気体はPV=RT、即ちV=RT/Pですから(∂V/∂T)_p=R/Pとなり、結局
Cp=Cv+Rになります。
(3)比熱は熱を入れたときの温度上昇ですが、それはなんらかの吸収対象に結びついています。ガスの場合、まず3次元(x,y,z方向)を飛んでいる並進運動のエネルギーへの吸収で、これは1自由度あたり(1/2)RTのエネルギーですから温度微分すると(1/2)Rです。3つの自由度で(3/2)Rとなります。次に回転運動の寄与があります。これの寄与は単原子ではありませんが、直線分子なら互いに垂直な2つの回転軸がありますから(1/2)*2R=Rです。よってCv=(5/2)Rの寄与です。そしてCpはRを足して(7/2)Rとなります。この時Cp/Cv=7/5=1.4
です。
(4)蛇足で気になるのは振動の比熱への寄与です。これは分子の振動モードの特性温度をΘとしてH(Θ/T)で決まるもので比熱への寄与はRHです。ヨウ素(Θ=305 K)ならば296 K、1019KでそれぞれΘ/Tは1.03, 0.29となります。この時Hの値は双方とも殆ど1になります。よって初めから比熱にもう一つRが加わってCv=(7/2)R, Cp=(9/2)Rになってしまいます。
CO(Θ=3080 K)ならまた事情が違います。296 KではΘ/T=10.4でこの時H≒0ですから今度はCp/Cvは1.4になってくれます。しかし1019 KではΘ/T=3.02となりこの時Hは0.49でRH=0.49Rになります。つまり約0.5R上乗せです。Cv=(5.5/2)R、Cp=(7.5/2)RとなりCp/Cv=1.36となりκが296 Kのところからシフトしてしまうのです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!

お礼日時:2009/05/10 22:56

導出はNo1さんのとおりで計算すれば1019K(746℃)です。

蛇足ですが、理想気体ならばCp-Cv=Rですね。κ=Cp/Cv=1.4ですからCv=2.5R=(5/2)Rとなり並進運動の(3/2)Rのほかに回転の自由度がRだけあることになりますね。これは直線型の分子(2原子分子とか)を考えているのでしょうね。
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この回答へのお礼

途中の計算式を教えてください!

お礼日時:2009/05/10 21:44

ええと、断熱過程ですと、もちろん


P V^(κ)= Const.  も利用できますが、ここでP=RT/Vを利用すると

  P V^(κ) = TR V^(κ-1) = Const.
= T V^(κ-1) = Const. (Rは定数なのでConst.に含めた)

ですので、求めたいセ氏温度をCとすれば
  (273+23)V^(κ-1) = (273+C) (V/22)^(κ-1)

の方程式が立ちますので、これを解けばもちろん任意のVは消えますから、Cが求まるかと思いますよ。


と、いうことですが、
一応PV=RT及びPVκ乗=Const.を用いて解いてみましょう
ちょっと遠回りになりますけどね^^;

まずP V^(κ)=Const. より圧縮前をPa 圧縮後をPbとしますと

   Pa V^(κ) = Pb (V/22)^(κ) より

   Pb = Pa*22^(κ-1) とおけます。        ・・・(1)

次に、Paを求めます。PV=RTですので、圧縮前は

   Pa V = R より

   Pa = (273+23) R / V となりますね。      ・・・(2)

よって(1)式に(2)を当てはめると圧縮後のPbは

   Pb = (273+23) R / V * 22^(κ-1)

であるので、これを圧縮後の PV=RTに代入すると求めたいセ氏温度をCとしまして、 T = 273+C より

   Pb (V/22) = R (273+C) から

   (273+C) = Pb (V/22) /R

       = (273+23) R/V * 22^(κ-1) * (V/22) /R

     C  = (273+23)* 22^(κ-1) - 273

となり、先ほどと同じような解が求まるかと思います。
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この回答へのお礼

すごいですね!本当にありがとうございます!
ですが、(V/22)^(κ-1)ってどうけいさんするんですかね!?

お礼日時:2009/05/10 21:03

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