三角錐の体積の求め方

三角錐O-ABCについて、

ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝５
ＡＢ＝４
ＢＣ＝５
ＡＣ＝６

この三角錐の体積の求め方を教えていただけませんか？？

底面積は出せるのですが、高さの出し方がどうしてもわかりません。
宜しくお願いします。。。。

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2011/06/22 01:29

#2です。

A#2の補足質問について

>上の添付図の、Ｒの求め方、Ｒ＝abc/(4S)は公式なのでしょうか。。。？？
公式です。
でも正弦定理から直ぐ導ける三角形の面積公式ですので導き方もセットで覚えておいた方が良いでしょう。
S=(1/2)ab*sinC=abc/(4R)=rs=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}, s=(a+b+c)/2
ここでRは外接円の半径、rは内接円の半径。
(参考URL)http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/heron/her …

>私は、
>abcから余弦定理でcosＡを求めて、それからsinAを求めてから、
>正弦定理を用いてＲを出していました。
同じ出すなら参考URLにあるように
S=(1/2)a*b*sinC に
c/sinC=2R(正弦定理)→sinC=c/(2R)
を代入して導いた方が簡単かと思いますが…。

参考URL：http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/heron/her …

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2011/06/22 01:14

＞Ｒ＝abc/(4S)は公式なのでしょうか。

。。？？

公式とまでは言えないでしょうね。私もこの式は記憶にはありません。


ただし、面積の求め方の
S=bcsinA/2
は公式として憶えておいたほうがいいでしょう。

この面積の公式と正弦定理　a/sinA=2R　から
S=abc/(4R)
R=abc/(4S)
が導かれます。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/06/21 13:19

>ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝５　で、等しかったから、

垂線は底面積の外心にきたのでしょうか？？

そうです。
添付図のように、△OAH≡△OBH≡△OCHになるので
AH=BH=CHとなって頂点Oから底面に下ろした垂線OHの足Hが
△ABCの外心であるといえます。

この回答へのお礼

なるほど。。納得できました！！！！

ありがとうございます☆☆

そしてまた気になってしまったのですが、
上の添付図の、Ｒの求め方、Ｒ＝abc/(4S)は公式なのでしょうか。。。？？

私は、
abcから余弦定理でcosＡを求めて、それからsinAを求めてから、
正弦定理を用いてＲを出していました。。

とても手間がかかると思っていて、
このような式を初めて見たので驚きました！

何度も申し訳ございませんが、
よろしくおねがいいたします。。。

お礼日時：2011/06/22 00:04

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2011/06/21 03:28

頂点Ｏから面ＡＢＣに垂線を下ろしたときの交点は三角形ＡＢＣの外心になります。

面積が分かるのなら、外接円の半径Rも分かりますね。

高さは、√(5^2-R^2)で求められます。

この回答へのお礼

垂線は外心に来るのですね☆☆

解答と一致しました！！

ありがとうございます！！！


あの・・・、よろしければもう一つお聞きしたいのですが、
この問題では、

ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝５　で、等しかったから、
垂線は底面積の外心にきたのでしょうか？？

よろしければお願いします。

お礼日時：2011/06/21 11:22