微分方程式の解法に苦戦しています。
お力添えよろしくおねがいします。
dy/dx + ax = b exp(cx) cos(dx) + e exp(cx) sin(dx) + f
a, b, c, d, e, fは定数
この微分方程式の解法がわかりません。
手元にある参考書には基本形として、
dy/dx + ax = b exp(cx) cos(dx)及び、dy/dx + ax = b exp(cx) sin(dx)
の解法は記述されていますが、
これをどのように応用すれば良いのかが記述されていません。
容易な問題だとは思いますが、解法の手順を具体的にご説明いただくと幸いです。
よろしくおねがいします。
A 回答 (2件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.2
- 回答日時:
y' + ay = b exp(cx) cos(dx) + e exp(cx) sin(dx) + f
だとすると、両辺に exp(ax) を掛けて、
左辺 = y' exp(ax) + y a exp(ax)
= {y exp(ax)}'
右辺 = exp(Ax) {b cos(dx) + e sin(dx)} + f exp(ax) ; A = a+c
= exp(Ax) {R sin(dx+S)} + f exp(ax) ; 三角関数の合成
両辺を積分して、
y exp(ax) = R ∫exp(Ax)sin(dx+S)dx + (f/a) exp(ax) + (積分定数)
よって、y = …
後は、∫exp(Ax)sin(dx+S)dx を計算すればよいですね。
P = ∫exp(Ax)sin(dx+S)dx,
Q = ∫exp(Ax)cos(dx+S)dx と置いて、
部分積分から
P = (1/A)exp(Ax)sin(dx+S) - ∫(d/A)exp(Ax)cos(dx+S)dx
= (1/A)exp(Ax)sin(dx+S) - (d/A)Q,
Q = (1/A)exp(Ax)cos(dx+S) - ∫(d/A)exp(Ax){-sin(dx+S)}dx
= (1/A)exp(Ax)cos(dx+S) + (d/A)P.
これを P,Q の連立一次方程式として解くと、P が求まります。
dy/dx + ay = b exp(cx) sin(dx) の解法が手元にあるなら、それに
三角関数の合成 R sin(dx+S) を付け加えるだけだと思いますが。
No.1
- 回答日時:
dy/dx + ax = ・・・,は,dy/dx + ay = ・・・,の間違いではないでしょうか?
間違いでないとすると,
dy/dx + ax = b exp(cx) cos(dx) + e exp(cx) sin(dx) + f
dy/dx = b exp(cx) cos(dx) + e exp(cx) sin(dx) + f - ax
y = ∫[ b exp(cx) cos(dx) + e exp(cx) sin(dx) + f - ax ] dx + A
( A は積分定数)
これで微分方程式の一般解が解けています.
あとは,不定積分 ∫[ b exp(cx) cos(dx)+e exp(cx) sin(dx)+f-ax] dx+A を計算するだけです.
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 「急募!」数学 微分方程式 dy/dx=y+x*y^3 ・・・(1) 但しy(0)=±1をExcel 2 2022/07/20 21:58
- 数学 微分dy/dxについて 9 2023/08/26 10:04
- 物理学 量子力学 球面調和関数 導出 方位角成分 微分方程式の解 2 2022/07/02 13:40
- 数学 【全微分について】 z=f(x,y) の全微分は df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy と表 1 2023/02/25 05:49
- 数学 dx/dt = |y| , dy/dt = x (-∞<t<∞) をとけ 1 2022/09/17 09:56
- 物理学 次の微分方程式を解け dx/dt=e^ax+b これがわかりません。詳しく説明して欲しいです 1 2023/05/22 12:35
- 数学 微分積分の極限についての問題がわからないです。 1 2023/01/08 13:57
- 数学 微分方程式の問題 1 2023/07/27 12:11
- 数学 微分方程式の問題 2 2023/07/26 14:19
- 数学 数学積分の問題です x=a(t+sint) y=a(1-cost) tは0〜π グラフの形は「ハ」を 3 2022/08/27 12:26
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
積分で1/x^2 はどうなるのでし...
-
e^-2xの積分
-
dy/dx=-x/yの意味が解りません
-
∫1/√x dx 積分せよ 教えて下さい
-
微積分 dの意味
-
自励系のリッカチ方程式 dy/dt ...
-
項の右端につく縦棒の意味を教...
-
積分 Xの-2乗を積分するとどう...
-
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわ...
-
(1+sinx)/sin2xの積分
-
∫e^cos(x) dx の計算
-
1/X^2の積分ってlogX^2ですか?
-
微分の記号
-
∮a^xdxこれを公式的に導いてほ...
-
dy=dy/dx・dxの求め方
-
積分です
-
写真の赤丸のようになぜ、(d²y/...
-
(x^2-y^2)dy/dx -2xy=0 この微...
-
dy/dx・dxは置換積分を使ってdy?
-
不定積分
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
積分で1/x^2 はどうなるのでし...
-
e^-2xの積分
-
フーリエ級数の問題で、f(x)は...
-
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわ...
-
積分 Xの-2乗を積分するとどう...
-
∫1/√x dx 積分せよ 教えて下さい
-
項の右端につく縦棒の意味を教...
-
1/X^2の積分ってlogX^2ですか?
-
何が違いますか?
-
微積分 dの意味
-
∫e^cos(x) dx の計算
-
【数学Ⅱ・Ⅲ】微分の問題
-
2次微分の変数変換
-
x/(a^2+x^2)の積分について
-
exp(-ax^2)*cosx の証明
-
∫r/(a^2+r^2)^3/2drの計算の解...
-
x^2 * exp(x^2) dxの不定積分
-
x−1分の2の微分の仕方を教えて...
-
フーリエ変換の問題について
-
台形の任意の高さにおける上辺...
おすすめ情報