ローン支払いにおける金利の計算式について教えてください
ローンで元金X円を借ります。
返済年数はN年で、年に1度の返済です。
毎年の返済額はA円です。
以上の条件でローンを借りた場合の、金利は何%になるのか、その計算式を教えてください。
ネットで探したのですが、見つからなかったのでこちらで質問させていただきました。
上記質問を別の形で書き直します。
金利をrとすれば、年金減価係数(資本回収係数)の考え方と使うと、
X=A×(1-1/(1+r)^N)/r
という計算式が成り立ちます。
このrを求める計算式を知りたいです。
r=・・・・
どなたかご存知の方、教えていただけますでしょうか。よろしくお願いいたします。
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
他の回答者さんもおっしゃっているとおり、この式からrは解析的には解けません。
返済回数が5回以上の場合は、解析的に解く一般的な公式が存在しないことが証明されています。
そのためコンピュータ(関数電卓、金融電卓も含む)の力を使って、手探りで、ある面、力ずくで探し出す数値計算という方法で解くしかありません。
そのうちの一つの方法がニュートン法と呼ばれるものです。
ニュートン法を使ってrを計算するシミュレータを用意していますので、よかったら使ってみてください。
http://keisan.casio.jp/exec/user/1351503301
ここで計算されるのは月払いの場合の年利ですので、年払いの場合はここで計算される結果を12で割れば年利として求まります。
はじめから年利で計算したいときはこちらをご利用ください。
http://keisan.casio.jp/exec/user/1351775530
初期投資額に元金X円を、Cash Flow-1に毎年の返済額はA円を、期数に返済年数はN年を入れて、”計算"を押してください。
下の方にあるIRRのところに答がでます。
関数電卓を使ってもソルブ機能(カシオ)、あるはソルバー機能(シャープ)などを使えば解けます。
カシオの関数電卓ならCOMPモードで次のように入力します。
元金100円、毎年の返済額11円、返済年数は10年で、利率をXとすると、
100=11×(1-1÷(1+X)^(10))÷X
と入力して、[SHIFT]→[SOLVE]と押して、Xについて解くと、X=0.0177154269とでます。
シャープの関数電卓でも同じように解けると思います(取り出すのが面倒なので省略)。
説明書を参照してください。
同じ条件で上にあげたシミュレータで解くと、最初にあげた方ではあれば、21.259と出ますので、12で割ると1.7758となります。
二つめの方では、1.77154と出ます。
皆様、回答ありがとうございました。
私もあれからいろいろ調べまして、皆様がおっしゃるように解析的に解けないという点について、理解をいたしました。
四則演算で出来ればいいなという期待を持っておりましたが、やはりそうはいかないのですね。
ニュートン法に対応した関数電卓を入手のうえ、活用していきたいと思います。
No.5
- 回答日時:
肝心の勘定式に、ポッカリと脱落あり。
謹訂正。想定した r を使い、
D(r) = Xr - A{1-(1/(1+r))^N }
を勘定して答えが零なら、その r が求めているものです。
零にならなければ、
D'(x) = X - N*A*(1/(1+r))^(N+1)
d = D(r)/D'(x)
を求めて、r - d を r' だとします。
この r' を新たな r として、上記の勘定を繰り返していけば、数回で D(r) が零に収束するでしょう。
No.4
- 回答日時:
>Excelではなく関数電卓を使って計算をしたい…
「電卓」だと、ANo.3 の繰り返し勘定では所要回数が多すぎるかも…。
Newton 法のほうが速く収束します。
想定した r を使い、
D(r) = Xr - A{1-(1/(1+r))^N }
を勘定して答えが零なら、その r が求めているものです。
零にならなければ、
d = X - N*A*(1/(1+r))^(N+1)
を求めて、r+d を r' だとします。
この r' を新たな r として、上記の勘定を繰り返していけば、数回で D(r) が零に収束するでしょう。
(かけ離れた初期値を使わぬかぎり、ですけどネ…)
No.3
- 回答日時:
> 解析的には解けないということは、数学的にrを算出する計算式は存在しない、ということでしょうか・・・
「数学的に算出する」というのを、どういう意味で使っているかによります。
とりあえず、関数電卓で普通に計算できるような関数(初等関数)の組み合わせで、
r = ...
の形に表すことはできません。(質問者さんの言ってる「数学的に」の意味?)
ですが、もちろん、AとNを与えたときに、rは(適切に条件をつければ)ひとつに定まるわけで、
r = f(A, N)
という関数を定義することは「数学的に可能」です。
また、この関数の値を数値的に計算することは、普通に可能です。(簡単なプログラムを書けば自分でも求められる)
No.2
- 回答日時:
>X=A×(1-1/(1+r)^N)/r>
を変形すると、
r=A*(1-1/(1+r)^N)/X
ですけど、ずばり一発で「r を求める計算式」は無さそう。
「ローン返済シミュレーション」の WEB サイトでも、ずばり r を求めてくれるのは無さそうですネ。
EXCEL などのスプレッドシートにて、近似初期値を与えて近似精度をあげていく手ですが、シート関数を使って下記のようにすればできそう。
A 列のあるセル (アドレス a0) に r の近似初期値を入れ、その右 (B 列) のセル (アドレス b0) にて =A*(1-1/(1+r)^N)/X を勘定させる。
このとき、r にはセル a0 の値を使う。
近似誤差があると、a0 と b0 の表示値は一致しない。
セル a0 のひとつ下 a1 に =b0 を入れ、セル b0 の内容を表示させる。
その右のセル (アドレス b1) に、セル b0 の算式のコピーを貼り付けて =A*(1-1/(1+r)^N)/X を勘定させる。
このとき、r にはセル a1 の値を使う。
あとは、セル a1, b1 のコピーをその下へズラズラと貼り付けていく。
これで、A 列と B 列の値が接近していきます。
両者の誤差を別のセルに表示させるようにして、所望の近似精度内の結果を見てください。
回答ありがとうございます。
そうなんです、ずばりrを求めるサイトがなくて困っていたので、自分で何とかしようと考えています。
Excelではなく関数電卓を使って計算をしたいので、なんとか計算式を把握したいと考えています。
どうにかして式を変形して、計算式を作れないか今も考えています・・・
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