複素ベクトル空間について

　
C✕C、C✕C✕Cはそれぞれ何次元空間ですか。
　

No.10 回答者： rinkun 回答日時： 2014/04/09 09:08

ANo.8 へのお礼

「有理数体上のベクトル空間として
　　C✕C は無限次元
　　C✕C✕C は無限次元
改めてこれは正しいのですか。
この問題設定自体は正しいと言えますか。
少なくとも普通の教科書では見たことないです。」

既にANo.9でも書かれていますが、これは正しいです。
そして「普通の教科書」レベルではまず記載されません。RやCがQ上の無限次元ベクトル空間になるというくらいの記述ならあるかもしれませんけど。
まずC✕C、C✕C✕CなどをR上やC上でなくQ上のベクトル空間として扱うことに現実的な意義が見いだせません。単に紹介として挙げるならRやCで十分です。
ついでにいうと一般に無限次元ベクトル空間の話を証明し始めると結構大変なので、教科書レベルだと有限個の基底では足りないくらいの説明しかないと思います。

この回答へのお礼

＞ついでにいうと一般に無限次元ベクトル空間の話を証明し始めると結構大変なので、教科書レベルだと有限個の基底では足りないくらいの説明しかないと思います。

『R の濃度は連続体濃度であり、 Q の濃度である可算濃度より大きいので、R は Q 上無限次元である。』

本件についてはこれにて解決とします。

なお今後の教訓としては無限の問題（特に無限次元など）が出てきたら近づかないってことかな。
　

　



　

お礼日時：2014/04/09 10:37

No.9 回答者： ramayana 回答日時： 2014/04/08 22:05

ANo.8 へのお礼

「有理数体上のベクトル空間として
　　C✕C は無限次元
　　C✕C✕C は無限次元

改めてこれは正しいのですか。
この問題設定自体は正しいと言えますか。
少なくとも普通の教科書では見たことないです。」

について

有理数体上のベクトル空間として「C✕C は無限次元」「C✕C✕C は無限次元」ついでに「R は無限次元」（実数体を R で表す）は、線形代数の基礎知識がある人にとっては自明のこと。

質問者さんがいう「普通の教科書」がどんなものを指すのか知らないが、ちゃんとした教科書なら、次の定理が載っているはず。

定理　「ベクトル空間には基底が存在する。」

あと、ベクトル空間の定義に照らし合わせれば、次のことは簡単に確かめられるはず。

[1]　「C✕C、C✕C✕C、R は、どれも有理数体上のベクトル空間である。」

以下、C✕C、C✕C✕C、R を（R や C 上のベクトル空間でなく）有理数体上のベクトル空間とみなす。次のことは、ANo.3 等から、質問者さんにも理解できているはず。

[2]　「C✕C、C✕C✕C、R の基底は、どれも有限集合でない。」

[1]　と [2] によって、C✕C、C✕C✕C、R は有限次元でないベクトル空間である。よって、上の定理によって、C✕C、C✕C✕C、R には無限集合からなる基底が存在する。すなわち、C✕C、C✕C✕C、R は、無限次元である。

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/04/08 14:45

「基底の要素」がどうとかいう以前に「合成」というのがどういう操作なのかわからんかったのよ＞#7.

『線形結合』のことかな」と推測はできても, 本当に線形結合ならわざわざ「合成」などとあいまいに書く必要はなく明確に「線形結合」と書けばいい. であれば「『線形結合』ではないなにか」かと思うと, 今度はその「『線形結合』ではないなにか」が (この文脈では) さっぱり浮かばない, と. 極めつけは #4 への「お礼」の
「例えば円周率πは有限個の有理数で近似できるがイコールにはならない。
無限個の有理数であればイコールになる、みたいな。」
で, これで「線形結合」は逆に想像できなくなっちゃう.

ちなみに突っ込んでおくと
実数を有理数の線形結合で表す
と書くにしても, 本来は係数として何が使えるのかきちんと指定すべき. もちろん実数 (以上) を持ち出すと無意味だから有理数以下でないと困るんだけど, 有理数以下の体でここに使って意味のあるものってなんだろう.

さらに, 「有理数体上で無限次元」をそう解釈すると今度は「C が R上 2次元」をどう理解しているのかがさっぱり分からなくなる. (実数係数で) 実数の線形結合をどう作っても (よしんば非可算無限個の実数を持ち出したとしても) 複素数は作れない.

この回答へのお礼

　
＞『線形結合』のことかな」と推測はできても, 本当に線形結合ならわざわざ「合成」などとあいまいに書く必要はなく明確に「線形結合」と書けばいい.

ベクトルで線形結合することを普通にベクトル合成と言うので、単に合成で意味は通じると思いました。
まあこれはいわゆる言葉のあやですね、スルーしましょう。


＞実数を有理数の線形結合で表す
と書くにしても, 本来は係数として何が使えるのかきちんと指定すべき.

有理数体Ｑのベクトル空間で考えてるのだから係数は有理数のはず。


＞ 「有理数体上で無限次元」をそう解釈すると今度は「C が R上 2次元」をどう理解しているのかがさっぱり分からなくなる.

さてここが問題ですが、No.2回答にある

有理数体上のベクトル空間として
　　C✕C は無限次元
　　C✕C✕C は無限次元

改めてこれは正しいのですか。
この問題設定自体は正しいと言えますか。
少なくとも普通の教科書では見たことないです。
　
　

お礼日時：2014/04/08 19:14

No.7 回答者： rinkun 回答日時： 2014/04/08 09:58

ベクトル空間の次元は一般的に係数体上の基底の濃度で定義します。

従って係数体QのときのRやCの次元は連続濃度になりますが、基底の構成には選択公理が必要で具体的な構成は不可能です。
ついでに言うと基底の要素は高々1個を除けば全部無理数です。(複数の有理数は必ずQ上線形従属なので)

任意の実数(あるいは複素数)は、この基底からの有限個の元と同数の有理数との線形結合で現せますが、それは『実数を有理数によって合成する』というイメージとは異なると思います。
『実数を有理数によって合成する』という表現をすると基底の要素が有理数だと思っているかのような印象がありますので、何が言いたいのか分からないと言われたのではないでしょうか。

この回答への補足

　
＞『実数を有理数によって合成する』

これは実数を有理数の線形結合で表すという意味で用いています。
　

補足日時：2014/04/08 10:16

この回答へのお礼

なんだかあやふやなのですが、結論から言うとNo.2回答にある

有理数体上のベクトル空間として
　　C✕C は無限次元
　　C✕C✕C は無限次元

は正しいですか。
　

お礼日時：2014/04/08 10:10

No.6 回答者： ramayana 回答日時： 2014/04/07 20:11

横からですが、ANo.5 へのお礼「だからどのように解釈すればよいの？もっとストレートにお願いします。

」について。

ストレートということなら、ANo.3 で、既にストレートな説明がなされています。これが分からないというなら、もう一度教科書でベクトル空間、基底、次元の定義を勉強し直すべきでしょう（注）。

あと、初学者には、解釈を求める方が結構いらっしゃいます。確かに、解釈があれば議論の見通しが良くなる場合があることも事実です。しかし、他人に教えられた解釈が邪魔になることも多いのです。特に無限が絡む議論では、解釈に頼った結果、珍妙な議論に行き着くことが往々にして起きます。逆説的に響くかもしれませんが、初学者のうちは、解釈に頼らず、定義に基づき議論するのが良いと思いますよ。経験を積めば、解釈は自然に身に付きます。

*******
（注）ちなみに、「有限個の実数 x1, ..., xn に対してx = a1 x1 + ... + an xn(a1, ..., an は有理数) という形で表すことのできない実数は存在する」ことは、次のようにして示される：

x1, ..., xn が与えられたとして、a1 x1 + ... + an xn(a1, ..., an は有理数) の形で表される実数は高々可算無限個である。もし、任意の実数が上の形で表されたとすると、実数全体の集合の濃度が非可算であることと矛盾が生じてしまう。

この回答へのお礼

では一つ問題を単純にしてみます。

（問）実数Ｒは有理数体Ｑ上のベクトル空間として何次元か？

答えは無限次元。
理由：任意の実数を有限個の有理数で表すことは出来ないが、無限個なら可能であるから。

答えは正しいが、理由が違うってことなのでしょうか？
この問題設定自体は正しいといえるのでしょうか。？
　

お礼日時：2014/04/07 23:18

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/04/07 01:48

その解釈は違う.

というか, そこをそう考えるなら
実数体上のベクトル空間として
　　C✕C は 4 次元
　　C✕C✕C は 6 次元
はどう「理解」したんだろう.

この回答へのお礼

　
ベクトル空間の次元とはその空間を表現するのに必要な基底ベクトルの個数です。

C は実数体上ではR✕Rによって表現可能なので２次元。
C✕Cは実数体上ではR✕R✕R✕Rによって表現可能なので４次元。
C✕C✕Cは実数体上ではR✕R✕R✕R✕R✕Rによって表現可能なので６次元。

＞その解釈は違う.

だからどのように解釈すればよいの？
もっとストレートにお願いします。
　

　

お礼日時：2014/04/07 07:11

No.4 回答者： ramayana 回答日時： 2014/04/06 22:02

「実数を有理数によって合成するには無限個の基底がいるっていう理解でよいのでしょうか」

ANo.3 のとおり。
とくに「『実数を有理数によって合成する』が何をいいたいのかよくわからん」に同感。

この回答へのお礼

　
＞とくに「『実数を有理数によって合成する』が何をいいたいのかよくわからん」に同感。

例えば円周率πは有限個の有理数で近似できるがイコールにはならない。
無限個の有理数であればイコールになる、みたいな。
これが違うとするなら、


＞有理数体上のベクトル空間として
　　C✕C は無限次元
　　C✕C✕C は無限次元

これはどのように解釈すればよいのでしょう？
　

お礼日時：2014/04/06 23:23

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/04/06 00:13

「実数を有理数によって合成する」が何をいいたいのかよくわからんが, 有限個の実数 x1, ..., xn に対して

x = a1 x1 + ... + an xn
(a1, ..., an は有理数) という形で表すことのできない実数は存在する.

No.2 回答者： ramayana 回答日時： 2014/04/05 11:19

係数体に依存します。

有理数体上のベクトル空間として
　　C✕C は無限次元
　　C✕C✕C は無限次元

実数体上のベクトル空間として
　　C✕C は 4 次元
　　C✕C✕C は 6 次元

複素数体上のベクトル空間として
　　C✕C は 2 次元
　　C✕C✕C は 3 次元

この回答へのお礼

　
＞実数体上のベクトル空間として
　　C✕C は 4 次元
　　C✕C✕C は 6 次元

これは理解できます。

＞複素数体上のベクトル空間として
　　C✕C は 2 次元
　　C✕C✕C は 3 次元

これも理解できます。

＞有理数体上のベクトル空間として
　　C✕C は無限次元
　　C✕C✕C は無限次元

その意味では、R✕Rは無限次元、R✕R✕Rは無限次元となるんですね。

これはつまり、実数を有理数によって合成するには無限個の基底がいるっていう理解でよいのでしょうか。
　

お礼日時：2014/04/05 11:45

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/04/05 09:00

必要な基底ベクトルの数=次元なので

4, 6