クヌース記号を用いた数の微分

クヌース記号
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83% …

x↑↑n
をxで微分するとどうなりますか？
(x:実数、n:正の整数)

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2016/04/13 00:13

とりあえずx>0の範囲で考えましょ。

xの従属変数（つまりxの関数）の列y[n](n=1,2,…)が
　　y[1] = x↑↑1 = x
　　y[n] = x↑↑n = x^(y[n-1]) (n>0)
であるとします。で、y[n]のxによる微分(dy[n]/dx)を考えます。まず
　　dy[1]/dx = 1
である。n>1の場合は、両辺の対数を取って
　　ln(y[n]) = y[n-1] ln(x)
としてから両辺をxで微分すると、
　　(d/dx)ln(y[n]) = (d/dx)(y[n-1] ln(x))
　　(dy[n]/dx)/y[n] = (dy[n-1]/dx) ln(x) + y[n-1] (d/dx)(ln(x))
　　dy[n]/dx = ((dy[n-1]/dx) ln(x) + y[n-1]/x) y[n]
です。いわゆる対数微分法ですね。
　というわけで、(d/dx)(x↑↑n)がひとまず漸化式で表せました。