直角三角形の時、斜辺の長さが最小になる時は何故45度45度の三角形なのでしょうか？ 証明お願い致しま

直角三角形の時、斜辺の長さが最小になる時は何故45度45度の三角形なのでしょうか？
証明お願い致します。

No.2 回答者： 20170130 回答日時： 2017/06/13 11:19

以前の質問　周長固定、直角三角形の斜辺の範囲

に関連した質問ですよね

そうだとして、周長固定、直角三角形の条件で解きます

三角関数が使えるのであれば、
直角三角形の周の長さを L
斜辺を x
直角ではない角のどちらかを A (0 < A < (π/2) )とすると

L = x(1+cosA+sinA) :cosA+sinAが最大でxが最小
cosA+sinA = (√2)(sin(A+(π/4)) : 三角関数の合成

よって　A = π/4、直角二等辺三角形 で
cosA+sinAは最大値 √2 をとる 斜辺の長さは最小となる

1 < cosA+sinA <= √2

L/(1+√2) <= x < L/2

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/06/12 18:53

重要な条件が2個抜けている気がするケド？

・直角3角形
・周の長さが同じ場合

周の長さ合計をL、斜辺の長さをxとし、他の2辺の長さa、bとする。

三平方の定理よりx²=a²+b²

L-xを仮にcと置くとa+bが一定値cをとる場合、a²+b²が最小になる様なa、bの関係を求めれば良い。

b=c-aを代入すると
a²+b²=a²+(c-a)²=2a²-2ac+c²=2(a-c/2)²+c²/2

a=c/2の時、a²+b²は最小値をとる。

a+b=cだったから、aはL-xの半分。この時bもL-xの半分。
∴a=b

斜辺以外の2辺が等しいから、直角2等辺3角形。
つまり45度45度の三角形