『弧は弦より長し』

日本を代表する某大学の伝説の入試問題で、「πが３．０５より大なることを証明せよ」という問題があります。（以下はユークリッド幾何の範囲での論理になります）
この解説で、一般的（かどうかはわかりませんが）な方法として、直径１の円に外接、内接する正多角形の角数を増やして、その辺の長さの合計と円周の長さの比較より、πの数値を挟み込んでいく、という方法があるでしょう？このとき、円に内接する正多角形の辺の全長は円周より短いとしていいのか、という疑問がボソッと呟かれたことがあります。確かに、角々と折れ曲がっているからその多角形に外接している円の周長より多角形の辺の全長が長い可能性だってないといえない気もしてくる。
結局、これは弧は弦より長いという主張に換言されるでしょう。で、これを証明するにはどうすればよいのか？「図を見れば明らかなように…」ということで証明としていいのでしょうか？定量的に証明できないのかな？と思うのです。例えば…
[三角形の三辺の長さをそれぞれa、b、cとすると、a+b>cなることの証明。
余弦定理より、c²＝a²＋b²ー２abcosθ　（θ：a、b間のなす角度、０＜θ＜π）
c²＝(a＋b)²ー２ab－2abcosθ＝(a+b)²ー２ab(１＋cosθ)＜(a+b)²
∴c²＜(a+b)²となり、c<a+b]
といったように、式を立て、適切に展開、変形していって、自動的に大小関係が示される形で、弧が弦より長いことを証明できないだろうか、と望むわけです。何か、いい方法があるでしょうか？
扇形とその２辺を辺とする二等辺三角形の面積の大小関係からできそうな気もするのですが…。

質問者からの補足コメント

• 曲線を折れ線近似できるということ自体に、曲線と直線（言い換えれば弧と弦）の長さの大小関係が前提とされていませんか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/04/19 13:34

• 例えば、ですけど、曲線の微小部分をとって、それを直線と見做して足していく（何のことはない積分の考えですが）ぐらいでしょうか。折れ線を使って長さを比べていく方法は感覚的にもあうのですが、この方法を使った面白い命題（？）で、三角形の２辺の和が他の１辺と同じ長さであるというパラドックスというかディレンマがあります（きっとご存知でしょう）。それもあって、数式で表せないかと考えたわけです。しかし、どうやら至難の業みたいです。（ひょっとして不可能かも）

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/04/19 14:03

• 確かにその通りです。で、少し突っ込んで考えてみると、そもそも、直線の長さとはなんぞや？という問題に逢着してしまいます。結局、これは、感覚的に対応するしか手はないでしょう。

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/04/19 14:17

• 少し、早とちりしていたようです。2rsinθとすることで弦の長さ、２rθで弧の長さとしていたわけですね。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/04/19 16:41

• ２rsinθー２rθで大小を比較するというアイデアですが、sinθの微分にθ→０でsinθ/θ＝１を使っているはずです。これの証明には、確か、弧と弦の長さの大小関係が用いられていると思います。

    補足日時：2022/04/19 17:01

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/04/20 06:52

>sinθの微分にθ→０でsinθ/θ＝１を使っているはずです。

>これの証明には、確か、弧と弦の長さの大小関係が
>用いられていると思います。

確か循環気味ですね。
三角不等式だけで証明する証明法が有ったと思うけど
これもある意味循環かな？

2点間を繋ぐ曲線で最も短いものが直線

という証明は、大学で「変分法」を使うのを習いました。
遠い昔なので忘れましたが
こんなの

https://www.sciencetime.jp/note/85

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/04/19 18:53

＞ 最初に長さとか面積といった量があり、その性質を探っていくというより、

＞ 諸々の定理を満たすものとして、長さ等の量を定義するということ。

そのとおりです。
長さとか面積とかがどんなものであるかをつきとめるには、
何を長さとか面積とか呼ぶのかを定義せざるをえません。
それは、定義したときの言葉で定まるものであり、日頃我々が
思っている長さや面積の観念とは異なる可能性があります。
だから、「感覚的に」ではだめなんだなあ。
我々が何を曲線の長さだと感じているかは、単に情緒の問題であって
数学とは直接関係ない。数学の用語は明示的に定義して使うものです。
逆に、ちゃんと言葉を定義して使うのであれば、用語が
「長さ」や「面積」である必要も特にありません。
曲線を折れ線近似した折れ線長の上限を「スチャダラパー」と呼ぶ
...と定義してしまえば、曲線の長さの代わりに
曲線のスチャダラパーに関する幾何学が考察できるようになるだけです。
確か、ヒルベルトは、数学用語は「線分」とか「三角形」とかでなくても
「ビアマグ」と「テーブル」だっていいんだ...と言ってたかと思います。
ふたつのテーブルが合同であるとは、対応する３組のビアマグの
スチャダラパーがそれぞれ等しいことである...素敵じゃありませんか？

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/04/19 14:08

＞ 曲線の微小部分をとって、それを直線と見做して足していく

それって、折れ線近似じゃないの？
極限のとり方が少し違うけど。
そこを積分にしてしまうと、長さの定義に積分の収束が必要になって
いちいちややこしい話になる。

この回答へのお礼

順序が逆になりましたが、改めて御回答ありがとうございます。逆になったついでと言っては何ですが、結局、線の長さとか面積といった量は、例えば、余弦定理といった諸定理を満たすもの＝数学的対象事象として逆定義するしかないのではないかという気がしてきました。最初に長さとか面積といった量があり、その性質を探っていくというより、諸々の定理を満たすものとして、長さ等の量を定義するということ。

お礼日時：2022/04/19 15:51

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/04/19 13:39

＞ 曲線を折れ線近似できるということ自体に、

＞ 曲線と直線（言い換えれば弧と弦）の長さの大小関係が
＞ 前提とされていませんか？

折れ線近似できるかどうかではなく、
折れ線近似した長さの上限を曲線の長さと「定義する」んです。
この定義により、弧と弦の長さの大小関係は
前提というか、自明になりますね。

それ以外の方法で説明したいのであれば、
「曲線の長さ」を他の方法で定義する必要があります。
あなたは、どうやって定義しますか？

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/04/19 10:00

単純に円の弧と弦の比較なら

2rsinθ と 2rθを比べて
sinθ<θ (0<θ) を証明すればいい。

f(θ)=θ - sinθ
f'(θ)=1-cosθ ≧ 0, f(0) = 0 だから
θ=0 を除けば f(θ)> 0 → sinθ<θ

で、単位円に内接する正12角形の外周が
3.05 を超えることを示せばよいと思う。

外しているかな？

この回答へのお礼

ありがとうございます。しかし、sinもcosも、弦の長さはその定義に入っていませんよね？

お礼日時：2022/04/19 13:48

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2022/04/18 13:51

「2点間を結ぶ線で、長さが最小になるのは、

2点を結ぶ 直線が1本あり 1本しかない。」
これで良いと思うけれどね。

三角形ならば 辺の長さを考えた方が 楽では。
弧 BC の中の任意の位置に 点A を取り、△ABC を考える。
辺BA のＡの延長線上に AC=AD となるような 点 を置く。
BD=BA+AD=AB+AC 。
△ACD は 二等辺三角形ですから、∠ACD=∠ADC 。
当然 ∠BCD>∠ACD=∠BDC 。
大きい角に対する辺より 小さい角に対する辺の方が 小さいので、
BD>AD つまり AB+AC>BC 。
三角形で 2辺の和は 1辺より 長くなる。

この回答へのお礼

ありがとうございます。しかし、直線の定義を前提としてこの疑問に当てはめてよいのか、という疑問がそこはかとなく残りますね。

お礼日時：2022/04/19 13:30

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/04/18 13:18

その疑問を解決するには、

そもそも曲線の長さとは何か？
の定義を確認することが重要です。
曲線の長さというと、普段我々は
曲線にそって這わせたヒモを
ピンと伸ばしたときの長さ
などを想像しがちですが、
ヒモを這わすとか、それを伸ばすとか
いうことを数学の言葉に乗せることは
難しそうです。

教科書によくある方法は、
曲線を折れ線近似したときの
折れ線の長さの上限を曲線の長さとする
というものです。
これだと、弧長が弦長以上であることは
自明ですね？

この回答へのお礼

ありがとうございます。数式で表すのは難しそうですね。

お礼日時：2022/04/19 13:25

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2022/04/18 10:33

直線の定義を確認すると、

・二点間を最短距離で結ぶ線で、
その特徴として、
・特定の２点を通る直線は「１つ」だけである
ということより、そういうものである。


で、いいんじゃないですか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/04/19 13:23