y'+√(1-y^2/1-x^2)=0 という微分方程式の問なのですが 教科書の答えがx√(1-y^

y'+√(1-y^2/1-x^2)=0

という微分方程式の問なのですが
教科書の答えがx√(1-y^2)+y√(1-x^2)=cです

アークサインを使わずに答えを求める方法があるということでしょうか？解説よろしくお願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： diff3356 回答日時： 2018/04/24 07:49

書かれた方程式はそのまま読み取ると、

y'+√(1-y^2-x^2)=0 となります。また、結果からは、もとの方程式が、
y'+√{(1-y^2)/(1-x^2)}. であることがわかりますので、後者について考えます。(正確に記述してください)
与式は、√(1-y^2)*dx+√(1-x^2)*dy=0 ... (*)
ですから少々変形して、
√(1-y^2)*dx+√(1-x^2)*dy - xy*{dx/√(1-x^2)+dy/√(1-y^2)}=0 ⇔
{√(1-y^2) - xy/√(1-x^2)}dx + {-xy/√(1-y^2)+√(1-x^2)}dy=0, (完全微分形) ⇔
x*√(1-x^2)+y*√(1-y^2)=C.
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※ このような変形は気がつきにくく、三角関数にて処理するのがふつうです。

この回答へのお礼

ありがとうございます！よく分かりました！
Ae610さんのやり方が現実的だと2通りのやり方を見て思いました、丁寧に書いていただいたのでこちらをBAとさせていただきます
正確な記述を心がけます

お礼日時：2018/04/24 15:10

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2018/04/24 05:47

逆三角関数の加法定理に従えば

x√(1-y²)+y√(1-x²)=C

と表現する事も出来ると思う・・!