x ≡ 3 mod5 x ≡ 7 mod12 の連立一次合同式の解き方を教えてください。

x ≡ 3 mod5
x ≡ 7 mod12
の連立一次合同式の解き方を教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： OTZ-STO 回答日時： 2018/07/16 15:44

x≡3 mod5はx=5a+3

x≡7 mod12はx=12b+7
5a+3=12b+7
5a-12b=4…①
この二元一次不定方程式の解を一つ求めます。
(a,b)=(8,3)これを①へ代入して
5･8-12･3=4…②
①-②より
5(a-8)-12(b-3)=0
5(a-8)=12(b-3)
5と12は互いに素なので、この等式が成り立つためにはa-8が12の倍数であることが必要十分なので、
a-8=12k(kは整数)
a=12k+8
一番上の式x=5a+3に代入して
x=5(12k+8)+3
x=60k+43(kは整数)
というのが正しい解答ですかね。
因みにkの係数は5と12の最小公倍数です。これが分かっていれば一つ解(例えばx=43)を見つけて、そこに60kをくっつけるだけでできます。

この回答へのお礼

わかりやすい解説ありがとうございます！とても理解できました！

お礼日時：2018/07/17 00:58

No.4 回答者： runix2007 回答日時： 2018/07/17 00:55

そうだね

No.2 回答者： チープルーム 回答日時： 2018/07/16 02:38

補足です47の次に、そろうのは68なので、公差が分かるので、

x＝21n+47　nは自然数

No.1 回答者： チープルーム 回答日時： 2018/07/16 02:34

合同式なんで、

余りを利用しましょう
x＝3a+5　8,,11,14...,44,47..
x＝7b+12 19,26,33,40,47...
ここからは、規則性を使って
b＝5、a＝14が一番最初に該当する
x＝47