一次合同式と連立合同式の問題について

一次合同式の問題について、
(1)一次合同式31 = 5 (mod 247)を解きなさい。
(2)下記の連立一次合同式を解きなさい。
x= 1 (mod 3)
x= 2 (mod 7)
x= 3 (mod 11)

(1)31と5は247を法として合同ではない．

(2)
2・7・11=1(mod3)
3・3・11=1(mod7)
10・3・7=1(mod11)
より
x=1・2・7・11+2・3・3・11+3・10・3・7(mod231)
なのでx≡58(mod231)
となったのですが合っていますか？
間違えていたらご指摘お願いします。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/07 20:35

(1)は No.2 に同意。

31x ≡ 5 (mod 247) か
31 ≡ 5x (mod 247) かなんかのミスプリだろうと思う。

(2)合ってるけど、その 2, 3, 10 をよく思いついたな。
どうやったの？

愚直にやるなら、まず
x ≡ 1 (mod 3)
x ≡ 2 (mod 7) を
x = 1 + 3m = 2 + 7n と変形して、
不定方程式 3m - 7n = 1　←[1] を解く。
それには、3 と 7 の最大公約数を互除法で求める。
7 = 3・2 + 1
3 = 1・3　　←割り切れた
より、最大公約数は 1 で、
1 = 3・(-2) + 7・1　←[2]
[1] と [2] を辺々引き算して 3(m + 2) = 7(n + 1).
よって、 3 と 7 が互いに素であることから
3(m + 2) = 7(n + 1) = 3・7・k　(kは整数) と置ける。
すなわち、 m = 7k - 2, n = 3k -1, x = 21k - 5.

これと x ≡ 3 (mod 11) を連立して、
x = 21k - 5 = 3 + 11L を解く。　←[3]
今度は 21 と 11 の互除法で、
21 = 11・1 + 10
11 = 10・1 + 1
10 = 1・10　　←割り切れた
より、最大公約数は 1 で
1 = 11 - 10・1 = 11 - (21 - 11・1)・1 = 11・2 - 21　←[4]
[3] を移項した 21k - 11L = 8 と
[4] の両辺を 8 倍した 21・(-8) + 11・16 = 8 を引き算すると、
21(k + 8) = 11(L + 16).
よって、 21 と 11 が互いに素であることから
21(k + 8) = 11(L + 16) = 21・11・j　(jは整数) と置ける。
すなわち、 k = 11j - 8, L = 21j - 16, x = 231ｊ - 173.

答えを格好良く書けば、 x ≡ -173 ≡ 58　(mod 231).

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/05/07 17:14

一次合同式と言ってるから、(1)は31x = 5 (mod 247)のxを求める問題じゃ無いの？

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2022/05/07 16:19

（2）

そのやりかたはよくしらないけどあってるかどうかは
x≡58(mod231)　つまりｘ＝58＋231ｋ　ｋ：任意の整数
がもとの3つの合同式を満たすか調べればよい。